Exemplo 4. Determinando a solução geral da EDO
.
Primeiro determinamos a solução
da equação homogênea
.
Temos uma EDO com coeficientes constantes. Então podemos reescrever nossa EDO como:
Primeiro determinamos a solução
Temos uma EDO com coeficientes constantes. Então podemos reescrever nossa EDO como:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau com coeficientes constantes:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar encontrar duas partes principais: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que leva em conta o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes, que envolve montar a equação característica. Substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, vamos encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular (
) da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de mesmo grau. Então, nossa suposição é:
Onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agora, vamos organizar os termos por grau de
:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados:
Então, os coeficientes são
,
e
. Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.