Exemplo 4. Determinando a solução geral da EDO y^prime prime-y^prime-2 y=3 x^2+x.
Primeiro determinamos a solução yh da equação homogênea y^prime prime-y^prime-2 y=0.
Temos uma EDO com coeficientes constantes. Então podemos reescrever nossa EDO como:
r^2-r-2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau com coeficientes constantes:
y'' - y' - 2y = 3x^2 + x
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar encontrar duas partes principais: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que leva em conta o termo não-homogêneo 3x^2 + x.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes, que envolve montar a equação característica. Substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1, ficando:
r^2 - r - 2 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^2 - r - 2 = 0, vamos encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
r1 = 1 + 32 = 2 e r2 = 1 - 32 = -1
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular ( yp) da equação completa:
y'' - y' - 2y = 3x^2 + x
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( 3x^2 + x), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de mesmo grau. Então, nossa suposição é:
yp = Ax^2 + Bx + C
Onde A, B e C são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp:
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
2A - (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = 3x^2 + x
Simplificando:
2A - 2Ax - B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C = 3x^2 + x
Agora, vamos organizar os termos por grau de x:
-2A x^2 + (-2A - 2B)x + (2A - B - 2C) = 3x^2 + x + 0
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados:
-2A = 3 Rightarrow A = -32
-2A - 2B = 1 Rightarrow -2(-32) - 2B = 1 Rightarrow 3 - 2B = 1 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1
2A - B - 2C = 0 Rightarrow 2(-32) - 1 - 2C = 0 Rightarrow -3 - 1 - 2C = 0 Rightarrow -4 - 2C = 0 Rightarrow -2C = 4 Rightarrow C = -2
Então, os coeficientes são A = -32, B = 1 e C = -2. Portanto, a solução particular é:
yp = -32x^2 + x - 2

Passo 6

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea yh e da solução particular yp:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-x - 32x^2 + x - 2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-x - 32x^2 + x - 2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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