Encontre os valores de Z_{c}, sendo Z \sim N(0,1), tais que:
P\left(0,20<Z \leq Z_{c}\right)=0,1230.

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja Z \sim N(0,1). Pede-se encontrar o valor de Z_{c} tal que
P\bigl(0,20<Z\le Z_{c}\bigr)=0,1230.
Informações relevantes fornecidas:
  • Z é padrão: média 0 e variância 1.
  • A probabilidade entre 0,20 e Z_{c} é 0,1230.
  • Queremos o valor numérico de Z_{c}.

Passo 2

Conhecimento essencial (explicadinho): para uma normal padrão definimos a função distribuição acumulada (CDF) por
\Phi(x)=P(Z\le x).
Uma propriedade muito útil é que, para quaisquer a<b,
P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aqui aplicamos com a=0,20 e b=Z_{c}, portanto
P(0,20<Z\le Z_{c})=\Phi(Z_{c})-\Phi(0,20).
Essa fórmula transforma o problema de uma probabilidade entre dois pontos em diferença de duas funções de distribuição acumulada — isto é a técnica que usamos na prova.

Passo 3

Usando a igualdade do enunciado e a propriedade acima, temos
\Phi(Z_{c})-\Phi(0,20)=0,1230.
Isolando \Phi(Z_{c}),
\Phi(Z_{c})=0,1230+\Phi(0,20).
Agora precisamos do valor de \Phi(0,20). Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora que dá \Phi), obtemos
\Phi(0,20)=0,5793.
(Informo explicitamente que peguei esse valor na tabela da normal padrão.)

Passo 4

Substituindo o valor de \Phi(0,20) na expressão anterior:
\Phi(Z_{c})=0,1230+0,5793=0,7023.
Logo precisamos encontrar Z_{c} tal que
\Phi(Z_{c})=0,7023,
ou seja, Z_{c}=\Phi^{-1}(0,7023).

Passo 5

Como se calcula \Phi^{-1} na prova sem calculadora exata? Usamos a tabela inversa (procura o valor 0,7023 na tabela de \Phi e lê o z) ou fazemos interpolação entre entradas da tabela. Na tabela padrão:
\Phi(0,53)=0,7019,\qquad \Phi(0,54)=0,7054.
O valor 0,7023 está entre esses dois. Fazemos uma interpolação linear simples para melhorar a precisão:
\text{frac}=\frac{0,7023-0,7019}{0,7054-0,7019}=\frac{0,0004}{0,0035}\approx0,1143.
A diferença entre 0,53 e 0,54 é 0,01, então
Z_{c}\approx 0,53+0,1143\cdot0,01=0,53+0,001143\approx0,531143.
Arredondando de forma prática para três casas decimais obtemos Z_{c}\approx0,531. Se na prova bastar duas casas decimais, Z_{c}\approx0,53.

Resposta

Z_{c}\approx0,531

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