Encontre os valores de Z_{c}, sendo Z \sim N(0,1), tais que:
P\left(Z>Z_{c}\right)=0,025;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de Z_{c} tal que
P\bigl(Z>Z_{c}\bigr)=0,025,
onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1).
Informações dadas e objetivo claro:
  • Dado: Z\sim N(0,1).
  • Dado: P\bigl(Z>Z_{c}\bigr)=0,025.
  • Objetivo: determinar o valor numérico de Z_{c}.

Passo 2

Trocar a probabilidade à direita por uma probabilidade à esquerda (isso facilita usar tabelas ou a função inversa). Sabemos que a probabilidade total é 1, então
P\bigl(Z\le Z_{c}\bigr)=1-P\bigl(Z>Z_{c}\bigr).
Substituindo o valor dado,
P\bigl(Z\le Z_{c}\bigr)=1-0,025=0,975.
Ou seja, Z_{c} é o quantil da normal padrão associado à probabilidade 0,975.

Passo 3

Explicar o que é a função distribuição acumulada (CDF) e a função quantil: seja \Phi(z) a CDF da normal padrão,
\Phi(z)=P\bigl(Z\le z\bigr).
A função quantil inversa \Phi^{-1}(p) dá o valor z tal que \Phi(z)=p. Portanto, a relação que nos interessa é
Z_{c}=\Phi^{-1}(0,975).
Isto é, Z_{c} é o número cuja área à esquerda sob a curva normal padrão é 0,975.

Passo 4

Mostrar como obter numericamente \Phi^{-1}(0,975):
  • Método com tabela z: procure o valor 0,9750 no corpo da tabela da normal padrão; a linha e a coluna correspondentes normalmente dão z=1,96 (a tabela costuma mostrar \Phi(1,96)\approx 0,9750).
  • Método pela simetria: como a normal padrão é simétrica, \Phi(-a)=1-\Phi(a). Logo \Phi^{-1}(0,975)=-\Phi^{-1}(0,025). As tabelas normalmente mostram \Phi( -1,96)\approx 0,0250, o que confirma Z_{c}\approx 1,96.
  • Método com calculadora/computador: usar a função inversa da normal, por exemplo \text{invNorm}(0,975) ou \Phi^{-1}(0,975), que dá um valor mais preciso \approx 1,9599639845.

Passo 5

Arredondamento prático para prova: em muitos exames e tabelas usamos Z_{c}\approx 1,96. Se precisar de maior precisão (por calculadora), use Z_{c}\approx 1,95996. Para memorizar: P(Z>1,96)\approx 0,025 é um valor muito usado em estatística.

Resposta

\displaystyle Z_{c}\approx 1,96

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