Encontre os valores de Z_{c}, sendo Z \sim N(0,1), tais que:
P\left(Z>Z_{c}\right)=0,975;

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o valor de Z_{c} tal que
P\big(Z>Z_{c}\big)=0,975,
onde Z\sim N(0,1). Informações relevantes: a distribuição é a normal padrão (média 0 e desvio padrão 1) e queremos o ponto Z_{c} cujo complemento à esquerda tem probabilidade correspondente.

Passo 2

Vamos traduzir a probabilidade para a função de distribuição acumulada (CDF). Definimos
\Phi(z)=P(Z\le z).
A relação entre cauda direita e CDF é
P(Z>z)=1-\Phi(z).
Aplicando ao nosso caso,
1-\Phi(Z_{c})=0,975.
Isolando \Phi(Z_{c}) obtemos
\Phi(Z_{c})=1-0,975=0,025.

Passo 3

Agora precisamos do quantil correspondente: Z_{c} é a solução de
\Phi(Z_{c})=0,025,
ou seja
Z_{c}=\Phi^{-1}(0,025).
Usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi^{-1}(0,025)=-\Phi^{-1}(0,975).

Passo 4

Valor conhecido (tabela da normal padrão ou calculadora): \Phi(1,96)=0,975. Portanto
\Phi^{-1}(0,975)=1,96
e
Z_{c}=-1,96.
(Se quisermos maior precisão numérica, Z_{c}\approx -1,959963984\ldots, que arredonda para -1,96 com duas casas decimais.)

Passo 5

Verificação rápida: \Phi(-1,96)=0,025, então P(Z>-1,96)=1-0,025=0,975, conforme pedido. Respire fundo — chegamos lá!

Resposta

-1,96

Exercícios relacionados