Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores .
é uma série geométrica com e é convergente se , portanto , se , se e a soma é:

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
sumn=0^infty(x-2)^n3^n
converge e, em seguida, a soma dessa série.
O conteúdo principal aqui é série geométrica, cujo critério de convergência é l|rr|<1 e cuja soma vale tfraca11-r.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
(x-2)^n3^n =l(x-23r)^n
Logo a série é geométrica de razão
r=x-23,
com termo inicial a1=(tfracx-23)^0=1.

Passo 3

Pelo critério de convergência da série geométrica, é necessário
l|rr|<1 Longrightarrow l|x-23r|<1
Isto equivale a
|x-2|<3 Longrightarrow -3<x-2<3 Longrightarrow -1<x<5

Passo 4

Para -1<x<5 a soma da série é
S=a11-r =11-x-23 =15-x3 =35-x

Resposta

A série converge se and only if -1<x<5, e nesse intervalo
sumn=0^infty(x-2)^n3^n =35-x

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