( 2,0 pts ) Para quais valores da constante e a funçăo fé continua em (-infty, x) ?
f(x)=cc c x^2+2 x & se x <= 2 x^3-c x & se x>2

Passo 1

Temos a função definida por
f(x)= cx^2 + 2x, & x <= 2, x^3 - c x, & x>2
O conteúdo aqui é continuidade de função, e para isso precisamos usar que uma função é contínua em um ponto quando os limites laterais e o valor da função coincidem.

Passo 2

Sabemos que polinômios são contínuos em toda parte, então não há problema em (-infty,2) nem em (2,infty). Assim, só precisamos garantir a continuidade em x=2.

Passo 3

Primeiro, calculamos o valor de f(2) usando o ramo x<=2:
f(2)=ccdot2^2+2cdot2=4c+4
Em seguida, calculamos o limite pela direita em x=2:
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x^3-cx)=8-2c

Passo 4

Para ter continuidade em x=2, exigimos que
4c+4=8-2c
Resolvendo essa equação:
6c=4Longrightarrow c=tfrac23

Passo 5

Portanto, o valor de c que garante a continuidade de f em todo R (e em especial em x=2) é c=tfrac23.

Resposta

c = \tfrac{2}{3}

Exercícios relacionados