Considere
a função dada por
. Encontre uma função que seja tangente ao gráfico de
apenas nos pontos
e
.
Passo 1
A questão pede uma função que seja tangente ao gráfico de f nos pontos x₀=1 e x₁=5. O conteúdo é derivadas e ajuste de polinômio por condições de tangência (valor e inclinação). Vamos precisar de f (x), f′(x) e impor que a candidata g (x) satisfaça g(xᵢ)=f(xᵢ) e g′(xᵢ)=f′(xᵢ), i=1,5.
Passo 2
Para começar, expando f para poder derivar com facilidade. Temos
Expandindo:
de onde
Avalio em x=1 e x=5:
Passo 3
Proponho g ser um polinômio cúbico
pois assim tenho 4 coeficientes para 4 condições de tangência: em x=1 e em x=5. As equações são:
Passo 4
Agora resolvo o sistema. Subtraindo a 1ª da 3ª obtenho
e da 4ª já tenho
Dessas duas surge b=1-11a e depois c=35a-1. Substituindo em 3a+2b+c=17 dá a=1, daí b=-10, c=34 e finalmente d=−25.
Passo 5
Fica então
Verifica-se que g(1)=0, g’(1)=17, g(5)=20, g’(5)=9, e a diferença f−g=(x-1)2(x-5)2 garante que sejam os únicos pontos de tangência.
Resposta
A função procurada é g(x)=x3-10x2+34x-25.