Considere f: R R a função dada por f(x)=x(x-1)((x-5)^2+1). Encontre uma função que seja tangente ao gráfico de f apenas nos pontos x0=1 e x1=5.

Passo 1

A questão pede uma função que seja tangente ao gráfico de f nos pontos x₀=1 e x₁=5. O conteúdo é derivadas e ajuste de polinômio por condições de tangência (valor e inclinação). Vamos precisar de f (x), f′(x) e impor que a candidata g (x) satisfaça g(xᵢ)=f(xᵢ) e g′(xᵢ)=f′(xᵢ), i=1,5.

Passo 2

Para começar, expando f para poder derivar com facilidade. Temos
f(x)=x(x-1)((x-5)^2+1)=x(x-1)(x^2-10x+26)
Expandindo:
f(x)=x^4-11x^3+36x^2-26x,
de onde
f'(x)=4x^3-33x^2+72x-26
Avalio em x=1 e x=5:
f(1)=0, f'(1)=17;
f(5)=20, f'(5)=9

Passo 3

Proponho g ser um polinômio cúbico
g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
pois assim tenho 4 coeficientes para 4 condições de tangência: em x=1 e em x=5. As equações são:
a+b+c+d=0, 3a+2b+c=17, 125a+25b+5c+d=20, 75a+10b+c=9

Passo 4

Agora resolvo o sistema. Subtraindo a 1ª da 3ª obtenho
31a+6b+c=5,
e da 4ª já tenho
75a+10b+c=9
Dessas duas surge b=1-11a e depois c=35a-1. Substituindo em 3a+2b+c=17 dá a=1, daí b=-10, c=34 e finalmente d=−25.

Passo 5

Fica então
g(x)=x^3-10x^2+34x-25
Verifica-se que g(1)=0, g’(1)=17, g(5)=20, g’(5)=9, e a diferença f−g=(x-1)2(x-5)2 garante que sejam os únicos pontos de tangência.

Resposta

A função procurada é g(x)=x3-10x2+34x-25.

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