Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo \left(A-\lambda I_{n}\right) X=\overline{0} tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -2 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] ;
Passo 1
O enunciado pede os valores de \lambda para os quais o sistema homogêneo
\bigl(A - \lambda I_{3}\bigr)X = \overline{0}
tem solução não trivial. Isso equivale a encontrar os autovalores de A e, para cada um, determinar uma base do autespaço (espaço solução).
Passo 2
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I). Primeiro escrevemos
Da terceira linha vem y=0. Substituindo nas outras, obtemos x=z. Logo
X = z\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e a base do autespaço é \bigl\{\,(1,0,1)\bigr\}.
Resposta
Os autovalores são \lambda=1,2,-1.
Para \lambda=1, base do espaço solução: \{(3,2,1)\}.
Para \lambda=2, base do espaço solução: \{(1,3,1)\}.
Para \lambda=-1, base do espaço solução: \{(1,0,1)\}.