Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear definido por T(1,1,1)=(1,0,0), \quad T(-2,1,0)=(0,-1,0) e \mathrm{T}(-1,-3,-2)=(0,1,-1).
a) Mostre que T é inversível.
b) Determine \mathrm{T}^{-1}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).
c) Qual é a matriz que transforma a base \mathrm{A}=\{(1,1,1),(-2,1,0),(-1,-3,-2)\} na base \mathrm{B}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,1,-1)\} ?
d) Encontre as matrizes [\mathrm{T}]_{B}^{A} e \left[\mathrm{T}^{-1}\right]. Qual a relação entre elas?

Passo 1

O enunciado fornece um operador linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tudo que sabemos são as imagens de três vetores que formam uma base \mathcal{A}=\{v_1,v_2,v_3\} em que
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(-2,1,0),\quad v_3=(-1,-3,-2),
e sabemos que
T(v_1)=(1,0,0),\quad T(v_2)=(0,-1,0),\quad T(v_3)=(0,1,-1).
A base imagem \mathcal{B}=\{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} está explicitada.
Conteúdo: teoria de transformações lineares, invertibilidade via base, mudança de base e matrizes de operadores.

Passo 2

Para mostrar que T é invertível basta ver que \{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} é uma base de \mathbb{R}^3. Como são três vetores em \mathbb{R}^3 e eles são linearmente independentes (são exatamente os vetores de \mathcal{B}), segue que \dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=3. Logo \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetora. Em \mathbb{R}^3, para transformações lineares, sobrejetora implica bijetora, ou seja, T é invertível.

Passo 3

Para achar T^{-1} escrevemos um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}:
(x,y,z)=a\,(1,0,0)+b\,(0,-1,0)+c\,(0,1,-1).
Isso dá o sistema
a = x,\quad -b+c=y,\quad -c=z.
Daí a=x,\;c=-z,\;-b +(-z)=y\implies b=-(y+z).
Como T^{-1} leva cada vetor de \mathcal{B} de volta ao correspondente em \mathcal{A}, temos
T^{-1}(x,y,z) =x\,v_1 \;+\;\bigl(-(y+z)\bigr)\,v_2 \;+\;(-z)\,v_3.
Substituindo v_1,v_2,v_3 e somando coordenadas, obtemos
T^{-1}(x,y,z) =\bigl(x+2y+3z,\;x-y+2z,\;x+2z\bigr).

Passo 4

A matriz que leva coordenadas em \mathcal{A} para coordenadas em \mathcal{B} tem colunas dadas pelas coordenadas de T(v_i) em \mathcal{B}. Mas por definição cada T(v_i) é exatamente o i-ésimo vetor de \mathcal{B}. Logo essa matriz é a identidade 3\times3:
P_{\mathcal{A}\to\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 5

O matrizes pedidas são
[\;T\;]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} =P_{\mathcal{A}\to\mathcal{B}} =\mathrm{I}_3, \qquad [\;T^{-1}\;] =P_{\mathcal{B}\to\mathcal{A}} =P_{\mathcal{A}\to\mathcal{B}}^{-1} =\mathrm{I}_3.
Relação geral: a matriz de T^{-1} em bases trocadas é a inversa da matriz de T.

Resposta

a) T é inversível pois mapeia a base \mathcal{A} numa base \mathcal{B}.
b)
T^{-1}(x,y,z)=\bigl(x+2y+3z,\;x-y+2z,\;x+2z\bigr).
c) A matriz que transforma \mathcal{A} em \mathcal{B} é
\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
d)
[\;T\;]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}=\mathrm{I}_3, \quad [\;T^{-1}\;]=\mathrm{I}_3, \quad [\;T^{-1}\;]=\bigl([\;T\;]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\bigr)^{-1}.

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