Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear definido por T(1,1,1)=(1,0,0), \quad T(-2,1,0)=(0,-1,0) e \mathrm{T}(-1,-3,-2)=(0,1,-1).
a) Mostre que T é inversível.
b) Determine \mathrm{T}^{-1}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).
c) Qual é a matriz que transforma a base \mathrm{A}=\{(1,1,1),(-2,1,0),(-1,-3,-2)\} na base \mathrm{B}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,1,-1)\} ?
d) Encontre as matrizes [\mathrm{T}]_{B}^{A} e \left[\mathrm{T}^{-1}\right]. Qual a relação entre elas?
Passo 1
O enunciado fornece um operador linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tudo que sabemos são as imagens de três vetores que formam uma base \mathcal{A}=\{v_1,v_2,v_3\} em que
A base imagem \mathcal{B}=\{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} está explicitada.
Conteúdo: teoria de transformações lineares, invertibilidade via base, mudança de base e matrizes de operadores.
Passo 2
Para mostrar que T é invertível basta ver que \{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} é uma base de \mathbb{R}^3. Como são três vetores em \mathbb{R}^3 e eles são linearmente independentes (são exatamente os vetores de \mathcal{B}), segue que \dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=3. Logo \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetora. Em \mathbb{R}^3, para transformações lineares, sobrejetora implica bijetora, ou seja, T é invertível.
Passo 3
Para achar T^{-1} escrevemos um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}:
(x,y,z)=a\,(1,0,0)+b\,(0,-1,0)+c\,(0,1,-1).
Isso dá o sistema
a = x,\quad -b+c=y,\quad -c=z.
Daí a=x,\;c=-z,\;-b +(-z)=y\implies b=-(y+z).
Como T^{-1} leva cada vetor de \mathcal{B} de volta ao correspondente em \mathcal{A}, temos
A matriz que leva coordenadas em \mathcal{A} para coordenadas em \mathcal{B} tem colunas dadas pelas coordenadas de T(v_i) em \mathcal{B}. Mas por definição cada T(v_i) é exatamente o i-ésimo vetor de \mathcal{B}. Logo essa matriz é a identidade 3\times3: