Dados
e
:
(a) Os vetores
e
geram o
? Justifique.
(b) Sejam
e
vetores do
. Quais as condições sobre
e
para que
seja uma base de
?
(c) Encontre um vetor
que complete junto com
e
uma base do
.
(a) Os vetores
(b) Sejam
(c) Encontre um vetor
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
,
e pergunta:
(a) se eles geram todo ;
(b) que condições devem satisfazer e
para que
seja base de
;
(c) dê um exemplo de que, junto com
e
, possa ser estendido a uma base de
.
(a) se eles geram todo
(b) que condições devem satisfazer
(c) dê um exemplo de
Conteúdo: teoria de espaço gerado, independência linear e bases em
.
Passo 2
Duas ideias-chave para (a):
- O espaço gerado por dois vetores tem dimensão no máximo 2.
-
tem dimensão 4.
Logo o subespaçonão pode ter dimensão 4. Portanto esses dois vetores não geram .
Passo 3
Para (b),
ser base de
significa que eles são linearmente independentes e geram
. Em particular:
-
não pode pertencer ao subespaço . -
não pode pertencer ao subespaço .
Equivalente: a matrizcujas colunas são deve ter posto 4 (ou determinante não nulo).
Passo 4
Para (c), basta escolher um vetor
que não esteja em
. Por exemplo,
Para ver que ele não está em
, considerar o sistema
é incompatível (testar pelas componentes). Logo
é independente de
e pode ser estendido a uma base escolhendo depois um
também fora do plano gerado por esses três.
Resposta
a) Não. Como o span
tem dimensão no máximo 2, não chega a
.
b) É preciso que e
, de modo que o conjunto inteiro seja linearmente independente.
c) Um exemplo é
b) É preciso que
c) Um exemplo é
pois não admite combinação linear com
.