Dados V_{1}=(-3,5,2,1) e V_{2}=(1,-2,-1,2) :
(a) Os vetores V_{1} e V_{2} geram o \mathbb{R}^{4} ? Justifique.
(b) Sejam V_{3} e V_{4} vetores do \mathbb{R}^{4}. Quais as condições sobre V_{3} e V_{4} para que \left\{V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\right\} seja uma base de \mathbb{R}^{4} ?
(c) Encontre um vetor V_{3} que complete junto com V_{1} e V_{2} uma base do \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4,
V_{1}=(-3,5,2,1), \quad V_{2}=(1,-2,-1,2),
e pergunta:
(a) se eles geram todo \mathbb{R}^4;
(b) que condições devem satisfazer V_{3} e V_{4} para que \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} seja base de \mathbb{R}^4;
(c) dê um exemplo de V_{3} que, junto com V_{1} e V_{2}, possa ser estendido a uma base de \mathbb{R}^4.
Conteúdo: teoria de espaço gerado, independência linear e bases em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Duas ideias-chave para (a):
  1. O espaço gerado por dois vetores tem dimensão no máximo 2.
  2. \mathbb{R}^4 tem dimensão 4.
    Logo o subespaço \mathrm{span}\{V_{1},V_{2}\} não pode ter dimensão 4. Portanto esses dois vetores não geram \mathbb{R}^4.

Passo 3

Para (b), \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} ser base de \mathbb{R}^4 significa que eles são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^4. Em particular:
  1. V_{3} não pode pertencer ao subespaço \mathrm{span}\{V_{1},V_{2}\}.
  2. V_{4} não pode pertencer ao subespaço \mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\}.
    Equivalente: a matriz 4\times4 cujas colunas são V_{1},V_{2},V_{3},V_{4} deve ter posto 4 (ou determinante não nulo).

Passo 4

Para (c), basta escolher um vetor V_{3} que não esteja em \mathrm{span}\{V_{1},V_{2}\}. Por exemplo,
V_{3}=(0,0,1,0).
Para ver que ele não está em \mathrm{span}\{V_{1},V_{2}\}, considerar o sistema
a\,V_{1}+b\,V_{2}=(0,0,1,0)
é incompatível (testar pelas componentes). Logo V_{3} é independente de V_{1},V_{2} e pode ser estendido a uma base escolhendo depois um V_{4} também fora do plano gerado por esses três.

Resposta

a) Não. Como o span \{V_{1},V_{2}\} tem dimensão no máximo 2, não chega a \dim(\mathbb{R}^4)=4.
b) É preciso que V_{3}\notin\mathrm{span}\{V_{1},V_{2}\} e V_{4}\notin\mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\}, de modo que o conjunto inteiro seja linearmente independente.
c) Um exemplo é
V_{3}=(0,0,1,0),
pois não admite combinação linear com V_{1},V_{2}.

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