Encontre os valores de
e
que tornam
contínua em toda parte.
[
f(x)=\left{
\right.
f(x)=\left{
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que fazem a função $ f(x) $ ser contínua em toda parte. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções, um tópico de cálculo que verifica se uma função não tem “saltos” ou “quebras”. Para resolver isso, vamos precisar garantir que os limites da função à esquerda e à direita em cada ponto de transição sejam iguais ao próprio valor da função nesse ponto. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ em cada intervalo:
Percebemos que existem pontos de transição em $ x = 2 $ e $ x = 3 $. Precisamos garantir que a função seja contínua nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em $ x = 2 $.
Primeiro, calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^{-} $):
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, calculamos o valor de $ f(x) $ em $ x = 2 $:
Para que a função seja contínua em $ x = 2 $, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em $ x = 2 $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em $ x = 3 $.
Calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x \to 3^{-} $):
Em seguida, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x \to 3^{+} $):
Para continuidade em $ x = 3 $, esses limites devem ser iguais:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema. Vamos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
Agora, subtraímos a Equação 1 da Equação 2 Simplificada:
Simplificando:
Passo 7
Agora que encontramos $ a = 0.5 $, substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar $ b $:
Resposta
Os valores que tornam $ f(x) $ contínua em toda parte são $ a = 0,5 $ e $ b = 0,5 $.