Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
(b) sumn=1^infty (-1)^n n2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série sumn=1^infty (-1)^n n2^n satisfaz o Critério de Leibniz (série alternante) e, com isso, concluir que ela converge. Vamos usar o teste da série alternante, que exige que os termos em valor absoluto sejam decrescentes e tendam a zero.

Passo 2

Chamando an=n2^n, observe que a série pode ser escrita como sumn=1^infty(-1)^n an. Pelo Critério de Leibniz precisamos verificar dois pontos:
Mostre que an tende a zero conforme ntoinfty. Como o crescimento exponencial no denominador domina o crescimento linear no numerador, temos
limntoinftyan=limntoinftyn2^n=0

Passo 3

Mostre que an é eventualmente decrescente. Considere a razão
an+1an=(n+1)/2^n+1n/2^n=n+1ncdot12=1+1/n2

Passo 4

Para n>=2 tem-se 1+1/n<2, logo (1+1/n)/2<1. Isso mostra que, a partir de n=2, a sequência (an) é estritamente decrescente.

Passo 5

Como anto0 e an é decrescente para n grande, pelo Critério de Leibniz a série sumn=1^infty(-1)^n an é convergente.

Resposta

A série convergente por atender às condições do Critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes em módulo que tendem a zero).

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