Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a série
satisfaz o Critério de Leibniz (série alternante) e, com isso, concluir que ela converge. Vamos usar o teste da série alternante, que exige que os termos em valor absoluto sejam decrescentes e tendam a zero.
Passo 2
Chamando
, observe que a série pode ser escrita como
. Pelo Critério de Leibniz precisamos verificar dois pontos:
Mostre que tende a zero conforme
. Como o crescimento exponencial no denominador domina o crescimento linear no numerador, temos
Mostre que
Passo 3
Mostre que
é eventualmente decrescente. Considere a razão
Passo 4
Para
tem-se
, logo
. Isso mostra que, a partir de
, a sequência
é estritamente decrescente.
Passo 5
Como
e
é decrescente para
grande, pelo Critério de Leibniz a série
é convergente.
Resposta
A série convergente por atender às condições do Critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes em módulo que tendem a zero).