Encontre os valores de x para os quais a desigualdade é satisfeita.
(x^2-x-2) cdot(-x^2+4 x-3) >= 0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa encontrar os valores de ((x{2}-x-2)\cdot(-x{2}+4x-3)\ge0. Esse é um exercício de inequação polinomial por fatoração e análise de sinal; vamos fatorar cada termo e estudar onde o produto é não negativo.

Passo 2

Primeiro fatoramos cada polinômio:
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
-x^2+4x-3=-(x^2-4x+3)=-(x-1)(x-3)

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade com esses fatores temos
-(x-2)(x+1)(x-1)(x-3)>=0
e multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter o sinal) obtemos
(x-2)(x+1)(x-1)(x-3)<=0

Passo 4

Identificamos as raízes do produto onde cada fator zera: as raízes são x=-1,,1,,2,,3. Esses valores dividem a reta real em cinco intervalos: (-infty,-1),;(-1,1),;(1,2),;(2,3),;(3,+infty).

Passo 5

Agora escolhemos um ponto teste em cada intervalo para ver o sinal de P(x)=(x-2)(x+1)(x-1)(x-3):
  • Em (-infty,-1), por exemplo x=-2, P(-2)>0.
  • Em (-1,1), por exemplo x=0, P(0)<0.
  • Em (1,2), por exemplo x=1.5, P(1.5)>0.
  • Em (2,3), por exemplo x=2.5, P(2.5)<0.
  • Em (3,infty), por exemplo x=4, P(4)>0.

Passo 6

Queremos P(x)<=0, ou seja, nos intervalos onde o produto é negativo ou zero (incluindo as raízes).

Resposta

Os valores de x que satisfazem a desigualdade são
xin[-1,1]cup[2,3]

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