Faça o que se pede
b) Esboce e calcule a área da região dada pela integral integral-r^r raizr^2-x^2 d x com r>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar (fazer um desenho) e calcular a área da região definida pela integral integral-r^r raizr^2-x^2 , dx, onde r é um número positivo. Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas usando integrais, e para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções e integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dentro da integral: y = raizr^2 - x^2. Essa é a equação de um semicírculo com raio r. Por quê? Porque se você rearranjar, fica x^2 + y^2 = r^2, que é a equação de um círculo com centro na origem e raio r. Mas como estamos pegando a raiz quadrada, só consideramos a parte de cima do círculo, ou seja, o semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função. No gráfico de y versus x, teremos um semicírculo que vai de x = -r até x = r. O ponto mais alto do semicírculo será em x = 0, onde y = r.

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida que nos dá a área sob a curva entre x = -r e x = r. A integral que temos é integral-r^r raizr^2-x^2 , dx.

Passo 5

Sabemos que a área de um círculo completo é pi r^2. Como estamos calculando a área de um semicírculo, a área será metade disso. Então, a área do semicírculo é 12 pi r^2.

Passo 6

Portanto, ao calcular a integral integral-r^r raizr^2-x^2 , dx, estamos encontrando a área de um semicírculo de raio r, que já sabemos que é 12 pi r^2.

Resposta

A área da região é 12 pi r^2.

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