Faça o que se pede
b) Esboce e calcule a área da região dada pela integral
com
.
b) Esboce e calcule a área da região dada pela integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar (fazer um desenho) e calcular a área da região definida pela integral
, onde
é um número positivo. Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas usando integrais, e para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções e integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dentro da integral:
. Essa é a equação de um semicírculo com raio
. Por quê? Porque se você rearranjar, fica
, que é a equação de um círculo com centro na origem e raio
. Mas como estamos pegando a raiz quadrada, só consideramos a parte de cima do círculo, ou seja, o semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função. No gráfico de
versus
, teremos um semicírculo que vai de
até
. O ponto mais alto do semicírculo será em
, onde
.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida que nos dá a área sob a curva entre
e
. A integral que temos é
.
Passo 5
Sabemos que a área de um círculo completo é
. Como estamos calculando a área de um semicírculo, a área será metade disso. Então, a área do semicírculo é
.
Passo 6
Portanto, ao calcular a integral
, estamos encontrando a área de um semicírculo de raio
, que já sabemos que é
.
Resposta
A área da região é
.