Encontre os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
[ccc1 & 0 & x+1 0 & x-1 & 0 -1 & 1 & x+1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de x que fazem com que a matriz dada não tenha inversa. Isso envolve conceitos de matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de x que fazem esse determinante igual a zero, pois uma matriz sem inversa tem determinante zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
1 & 0 & x+1 0 & x-1 & 0 -1 & 1 & x+1
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui porque é mais direta para matrizes 3 times 3 .
A regra de Sarrus funciona assim:
  1. Repetimos as duas primeiras colunas da matriz à direita.
  2. Calculamos a soma dos produtos das diagonais principais.
  3. Subtraímos a soma dos produtos das diagonais secundárias.
Vamos aplicar isso à nossa matriz:
ccc|cc 1 & 0 & x+1 & 1 & 0 0 & x-1 & 0 & 0 & x-1 -1 & 1 & x+1 & -1 & 1

Passo 4

Agora, calculamos as diagonais principais:
  1. 1 times (x-1) times (x+1) = 1 cdot (x-1)(x+1)
  2. 0 times 0 times (-1) = 0
  3. (x+1) times 0 times 1 = 0
Somando esses produtos: 1 cdot (x-1)(x+1) + 0 + 0 = (x-1)(x+1)

Passo 5

Em seguida, calculamos as diagonais secundárias:
  1. (x+1) times (x-1) times (-1) = (x+1)(x-1)(-1)
  2. 0 times 0 times 1 = 0
  3. 1 times 0 times (x+1) = 0
Somando esses produtos: (x+1)(x-1)(-1) + 0 + 0 = - (x+1)(x-1)

Passo 6

Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
Determinante = (x-1)(x+1) - [ - (x+1)(x-1) ] = (x-1)(x+1) + (x+1)(x-1) = 2(x^2 - 1)

Passo 7

Para a matriz não ter inversa, o determinante deve ser igual a zero:
2(x^2 - 1) = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
x^2 - 1 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação x^2 - 1 = 0 :
x^2 = 1 x = pm 1

Resposta

Os valores de x que fazem a matriz não ter inversa são x = 1 e x = -1 .

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