Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[cccc2 & 4 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2 & 4 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2
em M4times4(C). Pede-se (i) o polinômio característico de A, (ii) seus autovalores e (iii) uma base para cada autoespaço. Vamos usar que, para matriz triangular,
chiA(lambda)=prodi=1^4 (aii-lambda),
e depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada autovalor.

Passo 2

Os elementos da diagonal de A são 2,2,-2,-2. Logo
chiA(lambda) =(2-lambda)^2(-2-lambda)^2 =(lambda-2)^2(lambda+2)^2

Passo 3

Autovalor lambda=2. Escrevemos A-2I e resolvemos
(A-2I)x=0, x=(x1,x2,x3,x4)^T
Temos
A-2I= 0 & 4 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & -4
As equações são
4x2+4x4=0, -4x3=0, -4x4=0
Daí x3=0, x4=0 e x2=-x4=0, sobrando x1 livre.
Uma base do autoespaço para lambda=2 é, por exemplo,
(1,0,0,0)

Passo 4

Autovalor lambda=-2. Escrevemos A+2I e resolvemos
(A+2I)x=0
Temos
A+2I= 4 & 4 & 0 & 4 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
As equações são
4x1+4x2+4x4=0, 4x2=0,
logo x2=0 e x1=-x4, com x3 e x4 livres.
Escolhendo como livres x3=1,x4=0 e x3=0,x4=1, obtemos duas bases:
v1=(0,0,1,0), v2=(-1,0,0,1)

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=(lambda-2)^2(lambda+2)^2
Autovalores e bases dos autoespaços:
(a) lambda=2, autoespaço de dimensão 1 com base (1,0,0,0).
(b) lambda=-2, autoespaço de dimensão 2 com base (0,0,1,0),,(-1,0,0,1).

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