Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[ccc1 & -6 & 0 3 & 7 & 0 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -6 & 0 3 & 7 & 0 0 & 0 & 1
em M3times3(C). Precisamos achar o polinômio característico chiA(lambda), os autovalores lambda e uma base de cada autoespaço. Vamos usar determinant de A - lambda I e depois resolver sistemas lineares homogêneos para cada lambda.

Passo 2

Escrevemos
A - lambda I = 1-lambda & -6 & 0 3 & 7-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
Como é triangular em blocos,
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det!1-lambda & -63 & 7-lambda,(1-lambda)
Calculamos o determinante do bloco 2times2:
(1-lambda)(7-lambda)-(-6)cdot3 =(1-lambda)(7-lambda)+18 =lambda^2-8lambda+25
Logo
chiA(lambda) = (1-lambda),(lambda^2-8lambda+25)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiA(lambda)=0. De (1-lambda)=0 vem
lambda1=1.
De lambda^2-8lambda+25=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda=8pmraiz64-1002 =8pm6i2 =4pm3i
Portanto
lambda2=4+3i e lambda3=4-3i.

Passo 4

Para resolvemos :
Da primeira equação vem ; da segunda, ; é livre. Logo
e uma base do autoespaço é .

Passo 5

Para resolvemos :
Da terceira equação . Das duas primeiras, basta uma:

Escolhendo fica o vetor eigen . Uma base é .

Passo 6

Para lambda3=4-3i análogo: (A-(4-3i)I)x=0 x3=0 e
-6x2=( -3+3i)x1implies x2=(-tfrac12+tfrac i2)x1
Tomando x1=2 obtemos o vetor (2,-1+i,0). Uma base é (2,-1+i,0).

Resposta

chiA(lambda) = (1 - lambda),(lambda^2 - 8lambda + 25).\nOs autovalores são lambda1 = 1, lambda2 = 4 + 3i, lambda3 = 4 - 3i.\nPara lambda1 = 1 a base do autoespaço é (0,0,1).\nPara lambda2 = 4 + 3i a base do autoespaço é (2,-1 - i,0).\nPara lambda3 = 4 - 3i a base do autoespaço é (2,-1 + i,0).

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