Use o conceito de primitiva (derivando) de uma função para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral 31+3 v^2 d v=arctg(3 v)+K

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via o conceito de primitiva (isto é, diferenciando a função obtida), se
integral 31+3v^2,dv = arctan(3v) + K
está correta. O conteúdo aqui é a verificação de integrais indefinidas usando a regra de derivação de arctan(x), que diz
ddxl[arctan(x)r] = 11+x^2

Passo 2

Vamos diferenciar a função proposta no segundo membro, F(v)=arctan(3v)+K. Usando a regra da cadeia, temos
F'(v) =ddvl[arctan(3v)r] = 11+(3v)^2cdotddv[3v] = 11+9v^2cdot 3 = 31+9v^2

Passo 3

Comparando F'(v)=tfrac31+9v^2 com o integrando original tfrac31+3v^2, vemos que não coincidem, pois 1+9v^2neq 1+3v^2. Logo, a primitiva dada está incorreta.

Passo 4

Para encontrar a primitiva correta, fazemos a substituição u=raiz3,v, de modo que du=raiz3,dv e
integral 31+3v^2,dv = integral 31+u^2,duraiz3 = raiz3 integral 11+u^2,du = raiz3,arctan(u) + C
Substituindo de volta u=raiz3,v, obtemos
integral 31+3v^2,dv = raiz3,arctanl(raiz3,vr) + C

Resposta

A igualdade proposta está incorreta. A primitiva correta é
raiz3,arctanl(raiz3,vr) + K

Exercícios relacionados