Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade rho(x, y), e de formato curvilíneo é dada por m=integralC rho(x, y) d s, onde C é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas x e y do seu centro de massa são dadas por barx=integralC x rho(x, y) d s e bary=integralC y rho(x, y) d s. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo x^2+y^2=16, x, y >= 0 e tem função de densidade rho(x, y)=x y, determine a sua massa.

Passo 1

A questão trata do cálculo da massa de um arame fino, cuja densidade linear é dada por rho(x,y)=xy e cujo formato é a curva C definida pelo quarto de círculo x^2+y^2=16, x>=0,,y>=0. Vamos usar o parâmetro t para converter a integral de linha m=integralCrho(x,y),ds em uma integral simples.

Passo 2

Parametrizamos a curva C por:
x(t)=4cos t, y(t)=4sin t, tin[0,,tfracpi2]
Então o vetor velocidade é
r'(t)=(-4sin t,,4cos t),
e sua norma é
|r'(t)|=4, \nlogo ds=4,dt.

Passo 3

Em função de t, a densidade fica
rho(x(t),y(t))=x(t)y(t)=(4cos t)(4sin t)=16sin tcos t,
e o elemento de massa rho,ds é
16sin tcos tcdot4,dt=64sin tcos t,dt

Passo 4

Agora calculamos a integral de t=0 até t=tfracpi2:
m=integral0^pi/264sin tcos t,dt =64integral0^pi/2sin tcos t,dt
Usando sin tcos t=tfrac12sin2t, temos
m=64cdottfrac12integral0^pi/2sin2t,dt =32l[-tfrac12cos2tr]0^pi/2 =32l(-tfrac12)(cospi-cos0) =32cdot(-tfrac12)(-1-1) =32

Resposta

32

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