Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade
, e de formato curvilíneo é dada por
, onde
é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas
e
do seu centro de massa são dadas por
e
. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
e tem função de densidade
, determine a sua massa.
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
Passo 1
A questão trata do cálculo da massa de um arame fino, cuja densidade linear é dada por
e cujo formato é a curva
definida pelo quarto de círculo
,
. Vamos usar o parâmetro
para converter a integral de linha
em uma integral simples.
Passo 2
Parametrizamos a curva
por:
Então o vetor velocidade é
e sua norma é
Passo 3
Em função de
, a densidade fica
e o elemento de massa
é
Passo 4
Agora calculamos a integral de
até
:
Usando
, temos
Resposta
32