Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}}
converge e, para esses x, calcular a soma. O conteúdo aqui é série geométrica: vamos usar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma S = a/(1-r).

Passo 2

Reescrevendo o termo geral como potência de uma razão, temos
\frac{(x-2)^{n}}{3^{n}} = \Bigl(\frac{x-2}{3}\Bigr)^{n}.
Portanto é uma série geométrica com razão
r = \frac{x-2}{3}
e primeiro termo (para n=2)
a = \Bigl(\frac{x-2}{3}\Bigr)^{2} = \frac{(x-2)^{2}}{9}.

Passo 3

A série geométrica converge se e somente se \lvert r\rvert<1. Logo
\left\lvert \frac{x-2}{3}\right\rvert < 1
implica
\lvert x-2\rvert < 3 \quad\Longrightarrow\quad -3 < x-2 < 3 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x < 5.

Passo 4

Para -1<x<5, a soma é
S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{(x-2)^{2}}{9}}{1 - \frac{x-2}{3}} = \frac{\frac{(x-2)^{2}}{9}}{\frac{5-x}{3}} = \frac{(x-2)^{2}}{9}\cdot\frac{3}{5-x} = \frac{(x-2)^{2}}{3\,(5-x)}.

Resposta

Converge para -1<x<5 e, nesse intervalo,
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}} = \frac{(x-2)^{2}}{3\,(5-x)}.

Exercícios relacionados