Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} calcule a soma das seguintes séries:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a soma conhecida
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},
e pede para calcular a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}.
Informações relevantes que temos: o valor da soma de 1/n^{2} para n começando em 1; a série que queremos começa em n=2 e cada termo tem um fator 2 no denominador ao quadrado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar cada termo usando a identidade (2n)^{2}=4n^{2}. Assim
\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Aplicando isso dentro da soma e usando a linearidade da soma (é permitido fatorar constantes para fora de somas infinitas quando a série converge; aqui temos termos positivos, logo converge), obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Agora expressamos a soma que começa em n=2 em função da soma completa que começa em n=1. Basta subtrair o termo n=1:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{1^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1,
onde usei explicitamente o dado \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} e que \frac{1}{1^{2}}=1.

Passo 4

Agora basta juntar o que encontramos nos passos anteriores:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=\frac{\pi^{2}}{24}-\frac{1}{4}.
Como checagem rápida, numericamente \dfrac{\pi^{2}}{24}\approx0,41123 e subtraindo \dfrac{1}{4}=0,25 dá aproximadamente 0,16123, um valor razoável para uma série que começa em n=2 com termos diminuindo rápido.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{2}}{24}-\frac{1}{4}

Exercícios relacionados