Sabendo que
calcule a soma das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a soma conhecida
e pede para calcular a série
Informações relevantes que temos: o valor da soma de
para
começando em
; a série que queremos começa em
e cada termo tem um fator
no denominador ao quadrado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar cada termo usando a identidade
. Assim
Aplicando isso dentro da soma e usando a linearidade da soma (é permitido fatorar constantes para fora de somas infinitas quando a série converge; aqui temos termos positivos, logo converge), obtemos
Passo 3
Agora expressamos a soma que começa em
em função da soma completa que começa em
. Basta subtrair o termo
:
onde usei explicitamente o dado
e que
.
Passo 4
Agora basta juntar o que encontramos nos passos anteriores:
Como checagem rápida, numericamente
e subtraindo
dá aproximadamente
, um valor razoável para uma série que começa em
com termos diminuindo rápido.