Encontre os valores de x para os quais a série dada converge e encontre o valor da soma (em função de x) para esses valores de x
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{3}(x-1)^{n}
e pede para determinar para quais x ela converge e, nesses x, encontrar a soma em função de x. Trata-se de uma série geométrica.

Passo 2

Calculemos o fator constante e o quociente geométrico.
Temos
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{3} = -\tfrac18,
logo a série é
\sum_{n=0}^{\infty}(-\tfrac18)\,(x-1)^{n}.
Aqui a=-\tfrac18 e r=x-1.

Passo 3

A série geométrica \sum_{n=0}^\infty a\,r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Portanto a condição de convergência é
\lvert x-1\rvert < 1.

Passo 4

Quando \lvert x-1\rvert<1, a soma de \sum_{n=0}^\infty a\,r^n é
\frac{a}{1-r}.
Substituindo a=-\tfrac18 e r=x-1,
\sum_{n=0}^{\infty}(-\tfrac18)\,(x-1)^{n} = \frac{-\tfrac18}{\,1-(x-1)\,} = \frac{-\tfrac18}{2 - x}.

Passo 5

Bastou simplificar a fração:
\frac{-\tfrac18}{2 - x} = -\frac{1}{8(2-x)} = \frac{1}{8(x-2)}.

Resposta

A série converge se, e somente se, \lvert x-1\rvert < 1 (isto é, 0<x<2), e para esses x sua soma é
\frac{1}{8(x-2)}.

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