Marque a alternativa correta que identifique a convergência ou divergência das séries abaixo:
c). \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 / 2 n}}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2/(2n)}}{2n}.
O conteúdo que vamos usar envolve simplificar o termo geral, estudar seu comportamento assintótico e aplicar o teste de comparação limite com a série harmônica.

Passo 2

Observe que
\frac{2}{2n} = \frac{1}{n},
portanto o termo geral pode ser reescrito como
a_n = \frac{n^{1/n}}{2n} = \frac{1}{2}\,n^{\frac{1}{n}-1}.
Para estudar n^{1/n}, note que
\lim_{n\to\infty}n^{1/n} = \lim_{n\to\infty}e^{\frac{\ln n}{n}} = e^0 =1.

Passo 3

Como n^{1/n}\to1, para n grande temos n^{1/n}\approx1 e assim
a_n \approx \frac{1}{2n}.
Use o teste de comparação limite com a série harmônica \sum1/n. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{1/n}}{2n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{2} = \frac12.
Como esse limite é finito e positivo e \sum1/n diverge, conclui-se que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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