Marque a alternativa correta que identifique a convergència ou divergéncia das séries abaixw:
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n!n!}{(2 n)!}
b). \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}
c). \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 / 2 n}}{2 n}
( ) a). converge; b). converge; c). diverge;
( ) a). converge; b). diverge; c). diverge;
( ) a). diverge; b). converge; c). diverge;
( ) a) diverge b) converge c). converge:
-PQ a). converge; b). converge; c). converge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das três séries
a) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n\,n!\,n!}{(2n)!}
b) \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{1+n}\Bigr)^{n}
c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2/(2n)}}{2n}
converge ou diverge. Vamos usar, respectivamente, o teste da razão (ou aproximação por coeficientes binomiais), o teste da raiz e o teste da comparação assintótica com a série harmônica.

Passo 2

Analisando a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n\,(n!)^2}{(2n)!},
aplicamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{3^{n+1}((n+1)!)^2/(2n+2)!}{3^n\,(n!)^2/(2n)!} =3\;\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \;\xrightarrow[n\to\infty]\;\frac{3}{4}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge.

Passo 3

Para
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{n+1}\Bigr)^{n},
usamos o teste da raiz:
\sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\Bigl(\tfrac1{n+1}\Bigr)^n} =\frac1{n+1} \;\xrightarrow[n\to\infty]\;0<1.
Logo, a série converge absolutamente.

Passo 4

Na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2/(2n)}}{2n},
observe que
n^{2/(2n)}=n^{1/n}=e^{(\ln n)/n}\to1,
portanto
a_n=\frac{n^{1/n}}{2n}\sim\frac{1}{2n}.
Como \sum1/(2n) diverge (série harmônica), pela comparação (ou limite de a_n/(1/n)\to\tfrac12\ne0) essa série também diverge.

Resposta

A alternativa correta é
a) converge; b) converge; c) diverge.

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