Encontre a derivada da função em P0 na direção de A
f(x, y)=x^2+x y+y^2, P0(-1,1), A=3 i-2 j

Passo 1

Temos a função f(x, y) = x^2 + x y + y^2 no ponto P0(-1,1) e a direção A = 3,i - 2,j. O conteúdo é derivada direcional; vamos usar o gradiente e o vetor unitário na direção de A.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x + y, partial fpartial y = x + 2y
Logo o gradiente é
nabla f(x,y) = (2x + y,; x + 2y)

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P0(-1,1). Substituindo x=-1 e y=1 em nabla f(x,y), obtemos
nabla f(-1,1) = (-1,; 1)

Passo 4

Obtemos o vetor unitário u na direção de A. Como A = (3, -2), temos
|A| = raiz3^2 + (-2)^2 = raiz13, u = A|A| = l(3raiz13,; -2raiz13r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto interno de nabla f(P0) com u:
Du f(P0) = nabla f(P0) cdot u = (-1)cdot3raiz13 + 1cdotl(-2raiz13r) = -5raiz13

Resposta

-5/raiz13

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