Encontre vartheta^2 fvartheta x^2, vartheta^2 fvartheta y^2
f(x, y)=x sin y+y sin x+x y

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem partial^2 fpartial x^2 e partial^2 fpartial y^2 para a função f(x,y)=xsin y+ysin x+xy. Estamos lidando com derivadas parciais, então vamos usar a definição de derivada parcial e lembrar de derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Derivando f(x,y)=xsin y+ysin x+xy termo a termo em relação a x, temos:
partial fpartial x=sin y+ycos x+y

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x em relação a x para achar partial^2 fpartial x^2. Como sin y e y são constantes em relação a x, obtemos:
partial^2 fpartial x^2=-ysin x

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Derivando f(x,y) termo a termo em relação a y, temos:
partial fpartial y=xcos y+sin x+x

Passo 5

Finalmente, derivamos partial fpartial y em relação a y para achar partial^2 fpartial y^2. Como sin x e x são constantes em relação a y, obtemos:
partial^2 fpartial y^2=-xsin y

Resposta

As derivadas de segunda ordem são partial^2 fpartial x^2=-ysin x e partial^2 fpartial y^2=-xsin y.

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