Resolver as eq. diferenciais abaixo:
y^prime=x^3+9 x y^2+18 y^318 x y^2 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona $ y’ $ com $ x $ e $ y $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente com uma equação que pode ser simplificada para resolver usando substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
y' = x^3 + 9x y^2 + 18 y^318x y^2
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ x $ para simplificar:
x
Mas ainda está complicado, então vamos tentar uma substituição. Vamos assumir que $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v x $ e, derivando ambos os lados em relação a $ x $, temos:
y' = x^2 + 9 y^2 + 18 y^3x18 y^2

Passo 3

Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original com $ v $ e $ v’ $:
y
Vamos simplificar o numerador:
y'
E o denominador:
v
Então, a equação fica:
v'

Passo 4

Agora, vamos subtrair $ v $ de ambos os lados para isolar $ x v’ $:
v
Simplificando o lado direito:
x v'
Então, temos:
x v' = 1 + 9 v^2 + 18 v^318 v^2 - v

Passo 5

Essa é uma equação diferenciável separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos reescrever a equação:
v
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
x
Agora, vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v' = 1x ( 118 v^2 + 12 )
Simplificando:
dx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral ( 1v^2 + 9 v^2 ) dv = integral dxx
Calculando as integrais:
integral 1v^2 dv = -1v e integral 9 v^2 dv = 3 v^3
Então, a equação integrada fica:
-1v + 3 v^3 = ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
v = yx
Multiplicando tudo por $ x $ para simplificar:
-xy + 3 ( yx )^3 = ln|x| + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-x^2y + 3 y^3x^2 = x ln|x| + C x
onde $ C $ é uma constante de integração.

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