Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona $ y’ $ com $ x $ e $ y $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente com uma equação que pode ser simplificada para resolver usando substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ x $ para simplificar:
Mas ainda está complicado, então vamos tentar uma substituição. Vamos assumir que $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v x $ e, derivando ambos os lados em relação a $ x $, temos:
Passo 3
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original com $ v $ e $ v’ $:
Vamos simplificar o numerador:
E o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos subtrair $ v $ de ambos os lados para isolar $ x v’ $:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Essa é uma equação diferenciável separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos reescrever a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
Agora, vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Então, a equação integrada fica:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
Multiplicando tudo por $ x $ para simplificar:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante de integração.