Resolver as eq. diferenciais abaixo:
x^prime=cos x cos 3 t x=x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial $ x’ = \cos x \cos 3t $, onde $ x = x(t) $. Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos separar as partes que dependem de $ x $ das que dependem de $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
dxdt = cos x cos 3t
Nosso objetivo é separar as variáveis $ x $ e $ t $ para integrar cada lado com respeito à sua própria variável.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação por $ \cos x $ e multiplicar por $ dt $ para isolar $ dx $ de um lado e $ t $ do outro:
cos x
Agora, temos as variáveis separadas: $ x $ de um lado e $ t $ do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral dxcos x = integral cos 3t , dt
A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
integral dxcos x = integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C1
Aqui, usamos a fórmula da integral de $ \sec x $, que é $ \ln |\sec x + \tan x| + C $.

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:
integral cos 3t , dt = 13 sin 3t + C2
Nesta parte, usamos a regra da substituição para integrar $ \cos 3t $.

Passo 7

Igualamos as duas integrais:
ln |sec x + tan x| + C1 = 13 sin 3t + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só, $ C $.

Passo 8

Simplificando a expressão:
ln |sec x + tan x| = 13 sin 3t + C
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Passo 9

Se necessário, podemos resolver para $ x $ explicitamente, mas geralmente, essa forma já é suficiente para representar a solução da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln |sec x + tan x| = 13 sin 3t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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