Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial $ x’ = \cos x \cos 3t $, onde $ x = x(t) $. Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos separar as partes que dependem de $ x $ das que dependem de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Nosso objetivo é separar as variáveis $ x $ e $ t $ para integrar cada lado com respeito à sua própria variável.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados da equação por $ \cos x $ e multiplicar por $ dt $ para isolar $ dx $ de um lado e $ t $ do outro:
Agora, temos as variáveis separadas: $ x $ de um lado e $ t $ do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a fórmula da integral de $ \sec x $, que é $ \ln |\sec x + \tan x| + C $.
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Nesta parte, usamos a regra da substituição para integrar $ \cos 3t $.
Passo 7
Igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só, $ C $.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Passo 9
Se necessário, podemos resolver para $ x $ explicitamente, mas geralmente, essa forma já é suficiente para representar a solução da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.