Encontre o gradiente nabla f no ponto dado
f(x, y)=x^22-y^22,(raiz2, 1)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de uma função de duas variáveis no ponto (raiz2,1). O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente, e vamos precisar usar a definição de nabla f em termos das derivadas parciais de f.

Passo 2

Para achar o gradiente, lembramos que nabla f(x,y)=(partial f/partial x,partial f/partial y). Ou seja, vamos calcular separadamente as derivadas parciais de f(x,y)=tfracx^22-tfracy^22 em relação a x e a y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais: partial fpartial x=ddxl(tfracx^22r)=x e partial fpartial y=ddyl(-tfracy^22r)=-y. Assim, nabla f(x,y)=(x,-y).

Passo 4

Agora basta avaliar no ponto (raiz2,1). Substituindo: partial f/partial xl(raiz2,1r)=raiz2 e partial f/partial yl(raiz2,1r)=-1.

Resposta

nabla f(raiz2,1)=(raiz2,-1)

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