Encontre a vazão de escoamento numa calha de seção circular, que possui uma inclinação longitudinal de 0,5 %, fabricada em ferro fundido, altura de 0,25 m e raio de 0,5 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a vazão de escoamento em uma calha com seção circular. Para isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especificamente a Equação de Manning, que ajuda a calcular a vazão em diferentes tipos de canais. Vamos precisar também calcular a área da seção molhada e o perímetro molhado da calha para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a geometria da calha. Como a calha tem uma seção circular com raio $ r = 0,5 , m $ e a altura do escoamento é $ h = 0,25 , m r = 0,5 , m íáçã A h = 0,25 , m í P $), vamos usar fórmulas de geometria para segmentos circulares.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção molhada. A fórmula para a área de um segmento circular quando a altura $ h $ e o raio $ r $ são conhecidos é:
h
Substituindo $ r = 0,5 , m $ e $ h = 0,25 , m $:
r
A = r^2 arccos(r - hr) - (r - h) raiz2rh - h^2
r = 0,5 , m
h = 0,25 , m
A = (0,5)^2 arccos(0,5 - 0,250,5) - (0,5 - 0,25) raiz2 cdot 0,5 cdot 0,25 - (0,25)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o perímetro molhado ($ P $). Para um segmento circular, a fórmula é:
P
Onde $ \theta $ é o ângulo central em radianos correspondente ao segmento. Primeiramente, encontramos $ \theta $:
P = r cdot theta
Então,
theta

Passo 5

Com a área da seção molhada ($ A = 0,1535 , m^2 A = 0,1535 , m^2 í P = 1,0472 , m P = 1,0472 , m á R $):
R
Agora, vamos usar a Equação de Manning para encontrar a vazão ($ Q $):
R = AP = 0,15351,0472 approx 0,1467 , m
Onde:
  • $ n $ é o coeficiente de Manning para ferro fundido, que geralmente é $ n = 0,013 $.
  • $ S $ é a inclinação da calha, dada como $ 0,5% = 0,005 $.
Substituindo os valores:
Q
Vamos calcular passo a passo:
  1. $ (0,1467)^{2/3} \approx 0,1467^{0,6667} \approx 0,241 $
  2. $ (0,005)^{1/2} = \sqrt{0,005} \approx 0,0707 $
  3. Multiplicando tudo:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2

Resposta

A vazão de escoamento na calha é aproximadamente $ 0,2 , m^3/s $.

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