Num duto cilíndrico horizontal de 150 mm de diâmetro, com uma redução de 3 metros depois da entrada para 75 mm de diâmetro, escoa leite à temperatura ambiente com uma pressão de entrada de 300 Pa elevando-se para 550 Pa depois da redução. Calcule a velocidade e a vazão no trecho de diâmetro 75 mm . Considere escoamento permanente e sem perda de energia.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um duto cilíndrico horizontal que começa com um diâmetro de 150 mm e, depois de 3 metros, ele diminui para 75 mm. O leite está escoando com uma pressão de entrada de 300 Pa e essa pressão sobe para 550 Pa após a redução do diâmetro. A gente precisa descobrir duas coisas no trecho de 75 mm de diâmetro: a velocidade do leite e a vazão (que é o quanto de leite passa por esse trecho por segundo). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de fluxo e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Ela diz que, em um fluxo incompressível e estacionário, o produto da área da seção transversal pelo a velocidade do fluido é constante. Ou seja:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • $ A_1 $ e $ A_2 $ são as áreas das seções com diâmetros $ D_1 $ e $ D_2 $,
  • $ v_1 $ e $ v_2 $ são as velocidades do fluido nessas seções.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas seções. A área de um círculo é dada por:
A = pi cdot (D2)^2
Primeiro, para $ D_1 = 150, mm $:
D1 = 150, mm
Agora, para $ D_2 = 75, mm $:
A1 = pi cdot (1502times10^-3)^2 = pi cdot (0,075)^2 approx 0,01767, m^2

Passo 4

Vamos usar a equação da continuidade para relacionar as velocidades nos dois diâmetros. Mas primeiro, precisamos encontrar uma das velocidades. Para isso, vamos utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos do fluxo.
Como o duto é horizontal, a parte da altura não interfere. A equação de Bernoulli fica assim:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Onde:
  • $ P_1 = 300, Pa $,
  • $ P_2 = 550, Pa $,
  • $ \rho $ é a densidade do leite (vamos considerar $ \rho \approx 1030, kg/m^3 $).

Passo 5

Vamos isolar a diferença de pressão na equação de Bernoulli:
P2 - P1 = 12 rho (v1^2 - v2^2)
Substituindo os valores:
550 - 300 = 12 times 1030 times (v1^2 - v2^2)
250 = 515 times (v1^2 - v2^2)
Então:
v1^2 - v2^2 = 250515 approx 0,485, (m/s)^2

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da continuidade para relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $:
v1
Isolando $ v_1 $:
v2

Passo 7

Vamos substituir $ v_1 = 0,25 \cdot v_2 $ na equação que obtivemos da Bernoulli:
v1 = 0,25 cdot v2
(0,25 cdot v2)^2 - v2^2 = 0,485
0,0625 cdot v2^2 - v2^2 = 0,485
Multiplicando ambos os lados por -1:
-0,9375 cdot v2^2 = 0,485
Aqui percebemos que chegou a um resultado negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que houve um erro na aplicação das equações. Vamos revisar.

Passo 8

Na verdade, a equação de Bernoulli deve considerar que, ao reduzir o diâmetro, a velocidade aumenta, o que normalmente resulta em uma queda de pressão. Mas aqui, a pressão aumentou, indicando que há uma contribuição adicional, como energia fornecida ao fluido. Contudo, o enunciado pede para considerar escoamento sem perda de energia, o que implica que a pressão deve diminuir.
Parece que há uma inconsistência nos dados fornecidos. Para continuar, vamos assumir que a pressão está diminuindo de 550 Pa para 300 Pa após a redução.

Passo 9

Reajustando os valores:
P1 = 550, Pa, P2 = 300, Pa
Aplicando na equação de Bernoulli:
P1 - P2 = 12 rho (v2^2 - v1^2)
Substituindo:
550 - 300 = 12 times 1030 times (v2^2 - (0,25 cdot v2)^2)
250 = 515 times (v2^2 - 0,0625 cdot v2^2)
250 = 515 times (0,9375 cdot v2^2)
v2^2 = 250515 times 0,9375 approx 250482,8125 approx 0,517, (m/s)^2
Então:
v2 = raiz0,517 approx 0,719, m/s

Passo 10

Agora que temos a velocidade no trecho de 75 mm ($ v_2 \approx 0,719, m/s $), podemos calcular a vazão $ Q $ usando a fórmula:
v2 approx 0,719, m/s
Substituindo os valores:
Q
Convertendo para litros por segundo ($ 1, m^3 = 1000, litros $):
Q = A2 cdot v2

Resposta

A velocidade do leite no trecho de 75 mm de diâmetro é aproximadamente 0,719 m/s e a vazão é cerca de 3,18 litros por segundo.

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