Seja V=\mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Verifique se as matrizes são LI ou LD em cada um dos casos:
(c) A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 5 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) e as três matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta é: as matrizes A,B,C são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD)?]

Passo 2

Definição prática que vamos usar (tipo “receita de prova”): um conjunto \{A,B,C\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha A + \beta B + \gamma C = 0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Caso exista uma solução não trivial (algum dos escalares diferente de zero), o conjunto é linearmente dependente.
Então vamos montar essa combinação linear com incógnitas \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e calculando entrada a entrada:
\alpha A + \beta B + \gamma C = \alpha\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
Somando as matrizes obtém-se
\alpha A + \beta B + \gamma C = \begin{pmatrix} \alpha+\beta+0\cdot\gamma & \alpha+0\cdot\beta+0\cdot\gamma \\[4pt] \alpha+0\cdot\beta+5\gamma & \alpha+3\beta+2\gamma \end{pmatrix}.
Queremos que isso seja a matriz zero \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}. Igualando componente a componente, obtemos o sistema de equações lineares:
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha=0,\\[4pt] \alpha+5\gamma=0,\\[4pt] \alpha+3\beta+2\gamma=0. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema passo a passo (sem pular etapas):
  • Da segunda equação temos imediatamente \alpha=0.
  • Substituindo \alpha=0 na primeira equação dá \beta=0.
  • Substituindo \alpha=0 na terceira equação dá 5\gamma=0, logo \gamma=0.
  • Verificamos a quarta equação: com \alpha=\beta=\gamma=0 ela fica 0+0+0=0, está satisfeita.
Assim a única solução do sistema é \alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, só existe a combinação trivial que produz a matriz zero.

Passo 5

Conclusão didática: como a única solução de \alpha A+\beta B+\gamma C=0 é a trivial, então as matrizes A,B,C são linearmente independentes. Na prova, esse método — escrever a combinação linear genérica, igualar entradas e resolver o sistema — é o caminho padrão sempre que lidamos com matrizes em \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}).

Resposta

As matrizes A,B,C são linearmente independentes.

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