Encontre os comprimentos das curvas:
x=\frac{(2 t+3)^{3 / 2}}{3}, \quad y=t+t^{2} / 2, \quad 0 \leq t \leq 3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o comprimento da curva parametrizada por
x=\frac{(2t+3)^{3/2}}{3},\qquad y=t+\frac{t^{2}}{2}, \qquad 0\le t\le 3.
Informações dadas que vamos usar:
  • As expressões de x(t) e y(t) para t em [0,3].
  • O intervalo do parâmetro: t\in[0,3].

Passo 2

Fórmula e ideia por trás do comprimento de curva parametrizada (aula rápida e prática).
  • Se uma curva é dada por (x(t),y(t)) com t em [a,b] e x,y diferenciáveis, o comprimento L é obtido somando infinitesimais de distância ao longo da curva. Aproximando a curva por segmentos de reta e passando ao limite chega-se à fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt.
  • Aqui cada termo significa:
    • t é o parâmetro que percorre o intervalo [a,b].
    • \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em função de t.
    • \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em função de t.
    • O integrando \sqrt{(\,dx/dt\,)^2+(\,dy/dt\,)^2} é a velocidade escalar da partícula que se move ao longo da curva.
  • Vai-se aplicar essa fórmula com a=0 e b=3. Primeiro calculamos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} passo a passo.
  • Para x(t)=\dfrac{(2t+3)^{3/2}}{3} use a regra da cadeia. Seja u=2t+3. Então (2t+3)^{3/2}=u^{3/2} e \dfrac{du}{dt}=2. A derivada de u^{3/2} é \dfrac{3}{2}u^{1/2}\cdot\dfrac{du}{dt}. Assim
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}u^{1/2}\cdot 2.
Agora simplificar: \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 2 =1. Logo
\frac{dx}{dt}=\sqrt{u}=\sqrt{2t+3}.
  • Para y(t)=t+\dfrac{t^{2}}{2} a derivada é direta (somar derivadas):
\frac{dy}{dt}=1+t.

Passo 4

Montar e simplificar o integrando da fórmula do comprimento.
  • Substituindo as derivadas na fórmula:
\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}} =\sqrt{(\sqrt{2t+3})^{2}+(1+t)^{2}}.
  • Simplificar os quadrados:
(\sqrt{2t+3})^{2}=2t+3,\qquad (1+t)^{2}=1+2t+t^{2}.
Somando os dois termos:
2t+3 + 1+2t+t^{2} = t^{2}+4t+4.
  • Observar que t^{2}+4t+4=(t+2)^{2}. Assim o integrando é
\sqrt{(t+2)^{2}} = |t+2|.
  • Como estamos integrando para t\in[0,3], temos t+2\ge 2>0. Portanto |t+2|=t+2 no intervalo dado. Isso evita problemas de sinal.

Passo 5

Calcular a integral para obter o comprimento.
  • A integral para o comprimento torna-se
L=\int_{0}^{3}(t+2)\;dt.
  • Integrar termo a termo:
\int_{0}^{3}t\;dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}, \qquad \int_{0}^{3}2\;dt=\left[2t\right]_{0}^{3}=6.
Somando,
L=\frac{9}{2}+6=\frac{9}{2}+\frac{12}{2}=\frac{21}{2}.

Resposta

\dfrac{21}{2}

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