Encontre os comprimentos das curvas:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o comprimento da curva parametrizada por
Informações dadas que vamos usar:
- As expressões de
e para em . - O intervalo do parâmetro:
.
Passo 2
Fórmula e ideia por trás do comprimento de curva parametrizada (aula rápida e prática).
- Se uma curva é dada por
com em e diferenciáveis, o comprimento é obtido somando infinitesimais de distância ao longo da curva. Aproximando a curva por segmentos de reta e passando ao limite chega-se à fórmula
- Aqui cada termo significa:
-
é o parâmetro que percorre o intervalo . -
é a taxa de variação de em função de . -
é a taxa de variação de em função de . - O integrando
é a velocidade escalar da partícula que se move ao longo da curva.
-
- Vai-se aplicar essa fórmula com
e . Primeiro calculamos e .
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
- Para
use a regra da cadeia. Seja . Então e . A derivada de é . Assim
Agora simplificar:
. Logo
- Para
a derivada é direta (somar derivadas):
Passo 4
Montar e simplificar o integrando da fórmula do comprimento.
- Substituindo as derivadas na fórmula:
- Simplificar os quadrados:
Somando os dois termos:
- Observar que
. Assim o integrando é
- Como estamos integrando para
, temos . Portanto no intervalo dado. Isso evita problemas de sinal.
Passo 5
Calcular a integral para obter o comprimento.
- A integral para o comprimento torna-se
- Integrar termo a termo:
Somando,