Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem um vetor posição
e precisa encontrar, no instante r(t) = l(e^-t,;2cos(3t),;2sen(3t)r) :
  1. o vetor velocidade ,
  2. o módulo dessa velocidade ,
  3. o vetor aceleração .
Conteúdo usado:
  • Derivada de funções elementares (exponencial, cosseno, seno).
  • Regra da cadeia (quando tem algo dentro, tipo ).
  • Definição de velocidade e aceleração em movimento vetorial.
  • Cálculo de magnitude de vetor.

Passo 2

Vamos achar v(t) = r'(t) = l(-e^-t,;-6sen(3t),;6cos(3t)r) derivando cada componente de em relação a :
  1. Para :

    (a derivada de é , aqui e ).
  2. Para :
    • Primeiro a derivada de é .
    • Depois multiplica por .
      Então
  3. Para :
    • Derivada de é .
    • Multiplica por .
      Logo
Juntando:

Passo 3

Agora avalia em v(0) = l(-e^0,;-6sen(0),;6cos(0)r) = l(-1,;0,;6r) :

Passo 4

Para o módulo , usamos

Passo 5

Agora a aceleração a(t) = l(e^-t,;-18cos(3t),;-18sen(3t)r) . Derivando cada parte de :
Logo

Passo 6

Avalia em a(0) = l(e^0,;-18cos(0),;-18sen(0)r) = l(1,;-18,;0r) :

Resposta

v(0) =
=
a(0) =

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