Encontre e verifique as soluções das equações abaixo: y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=4 t^{2}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e verificar a solução da equação diferencial
y''-3y'-4y=4t^{2}.
Informações relevantes dadas:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo do lado direito é o polinômio \;4t^{2}.
A incógnita é a função y(t).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-3y'-4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo vem o polinômio característico
r^{2}-3r-4=0.
Resolvendo por fatoração:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0,
logo as raízes são r=4 e r=-1. Portanto as soluções fundamentais da homogênea são e^{4t} e e^{-t} e a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve explicação do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, assumir y=e^{rt} transforma a EDO num polinômio em r; as raízes desse polinômio determinam as componentes exponenciais da solução homogênea.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) para a equação completa. Como o membro de força é um polinômio de grau 2, pelo método dos coeficientes a determinar escolhemos um polinômio de grau 2:
y_{p}(t)=at^{2}+bt+c,
onde a,b,c são constantes a determinar.
Observação de ressonância: as soluções da homogênea são exponenciais (e^{4t},e^{-t}), não polinômios, então não há necessidade de multiplicar por potências de t. Logo a forma escolhida é adequada.
Passo 4
Calcule as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=2at+b,
y_{p}''(t)=2a.
Substituindo na equação y''-3y'-4y=4t^{2}:
2a-3(2at+b)-4(at^{2}+bt+c)=4t^{2}.
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de t: