Encontre e verifique as soluções das equações abaixo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=4 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e verificar a solução da equação diferencial
y''-3y'-4y=4t^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é o polinômio \;4t^{2}.
  • A incógnita é a função y(t).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-3y'-4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo vem o polinômio característico
r^{2}-3r-4=0.
Resolvendo por fatoração:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0,
logo as raízes são r=4 e r=-1. Portanto as soluções fundamentais da homogênea são e^{4t} e e^{-t} e a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve explicação do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, assumir y=e^{rt} transforma a EDO num polinômio em r; as raízes desse polinômio determinam as componentes exponenciais da solução homogênea.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) para a equação completa. Como o membro de força é um polinômio de grau 2, pelo método dos coeficientes a determinar escolhemos um polinômio de grau 2:
y_{p}(t)=at^{2}+bt+c,
onde a,b,c são constantes a determinar.
Observação de ressonância: as soluções da homogênea são exponenciais ( e^{4t},e^{-t}), não polinômios, então não há necessidade de multiplicar por potências de t. Logo a forma escolhida é adequada.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=2at+b,
y_{p}''(t)=2a.
Substituindo na equação y''-3y'-4y=4t^{2}:
2a-3(2at+b)-4(at^{2}+bt+c)=4t^{2}.
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de t:
2a-6at-3b-4at^{2}-4bt-4c=4t^{2}.
Organizando por potências:
(-4a)t^{2}+(-6a-4b)t+(2a-3b-4c)=4t^{2}+0\cdot t+0.
Igualando coeficientes de cada potência de t obtemos o sistema
\begin{cases} -4a=4,\\[4pt] -6a-4b=0,\\[4pt] 2a-3b-4c=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a,b,c.
Da primeira equação:
-4a=4\quad\Rightarrow\quad a=-1.
Substituindo a=-1 na segunda:
-6(-1)-4b=0\quad\Rightarrow\quad 6-4b=0\quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{3}{2}.
Substituindo a=-1 e b=\tfrac{3}{2} na terceira:
2(-1)-3\left(\tfrac{3}{2}\right)-4c=0
-2-\tfrac{9}{2}-4c=0
-\tfrac{13}{2}-4c=0\quad\Rightarrow\quad -4c=\tfrac{13}{2}\quad\Rightarrow\quad c=-\tfrac{13}{8}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=-t^{2}+\tfrac{3}{2}t-\tfrac{13}{8}.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t}-t^{2}+\tfrac{3}{2}t-\tfrac{13}{8}.

Passo 7

Verificação: mostrar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação.
  1. Verificar que as partes homogêneas satisfazem a homogênea:
  • Para y_{1}=e^{4t}: y_{1}'=4e^{4t}, y_{1}''=16e^{4t}. Então
y_{1}''-3y_{1}'-4y_{1}=(16-12-4)e^{4t}=0.
  • Para y_{2}=e^{-t}: y_{2}'=-e^{-t}, y_{2}''=e^{-t}. Então
y_{2}''-3y_{2}'-4y_{2}=(1+3-4)e^{-t}=0.
Assim C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t} satisfaz a homogênea.
  1. Verificar y_{p}:
    Calcular derivadas (já feitas):
y_{p}'(t)=2(-1)t+\tfrac{3}{2}=-2t+\tfrac{3}{2},
y_{p}''(t)=2(-1)=-2.
Substituir na equação:
y_{p}''-3y_{p}'-4y_{p} = -2-3\left(-2t+\tfrac{3}{2}\right)-4\left(-t^{2}+\tfrac{3}{2}t-\tfrac{13}{8}\right).
Agora simplificar passo a passo:
-2 -3(-2t) -3\left(\tfrac{3}{2}\right) -4(-t^{2}) -4\left(\tfrac{3}{2}t\right)+4\left(\tfrac{13}{8}\right).
-2 +6t -\tfrac{9}{2} +4t^{2} -6t + \tfrac{13}{2}.
Agrupando termos: 6t-6t cancelam; constantes: -2-\tfrac{9}{2}+\tfrac{13}{2} = -2 + \tfrac{4}{2} = -2 +2 =0. Sobra apenas
4t^{2}.
Portanto y_{p}''-3y_{p}'-4y_{p}=4t^{2}, como desejado.
Como a soma de uma solução da homogênea com uma solução particular é solução da equação completa, a solução geral encontrada está verificada.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}e^{-t}-t^{2}+\tfrac{3}{2}t-\tfrac{13}{8}.

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