Encontre e verifique as soluções das equações abaixo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=2 \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e verificar as soluções da equação diferencial
y''-3y'-4y=2\sin t.
Perguntas explícitas:
  • Determinar a solução geral da equação (todas as soluções).
  • Verificar que a solução encontrada satisfaz a equação.
Informações dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é 2\sin t.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a equação homogênea:
y''-3y'-4y=0.
Para resolver ecuções lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
r^2-3r-4=0.
Esta é uma quadrática; resolvendo:
r=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}.
Logo os dois ramos são
r_1=4,\qquad r_2=-1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{4t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um palpite para a solução particular y_p (método dos coeficientes a determinar). O termo não homogêneo é 2\sin t. Para um termo senoidal da forma A\sin t+B\cos t, um palpite padrão é
y_p(t)=a\cos t+b\sin t,
com a,b constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, verificamos se existe ressonância: isso ocorreria se r=\pm i fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são 4 e -1, não são \pm i, então o palpite acima é adequado (não é preciso multiplicar por t).

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' e substituir na equação para determinar a e b.
Derivadas do palpite:
y_p(t)=a\cos t+b\sin t,
y_p'(t)=-a\sin t+b\cos t,
y_p''(t)=-a\cos t-b\sin t.
Substituindo em y''-3y'-4y:
y_p''-3y_p'-4y_p = (-a\cos t-b\sin t)-3(-a\sin t+b\cos t)-4(a\cos t+b\sin t).
Agrupando os termos em \cos t e \sin t:
coeficiente de \cos t:
(-a)-3b-4a = -5a-3b,
coeficiente de \sin t:
(-b)+3a-4b = 3a-5b.
Portanto
y_p''-3y_p'-4y_p = (-5a-3b)\cos t + (3a-5b)\sin t.

Passo 5

Impor que a expressão anterior seja igual ao termo não homogêneo 2\sin t\), isto é, \[(-5a-3b)\cos t + (3a-5b)\sin t = 0\cdot\cos t + 2\sin t.
Isto gera o sistema linear para a,b:
\begin{cases} -5a-3b=0,\\[4pt] 3a-5b=2. \end{cases}
Resolver passo a passo:
Da primeira equação tem-se
-5a-3b=0 \quad\Rightarrow\quad 5a+3b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac{3}{5}b.
Substituindo na segunda equação:
3\!\left(-\dfrac{3}{5}b\right)-5b=2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{9}{5}b-5b=2.
Colocar sobre denominador comum 5\]: \[-\dfrac{9}{5}b-\dfrac{25}{5}b=2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{34}{5}b=2.\] Multiplicando ambos os lados por \(5:
-34b=10 \quad\Rightarrow\quad b=-\dfrac{10}{34}=-\dfrac{5}{17}.
Agora a=-\dfrac{3}{5}b:
a=-\dfrac{3}{5}\left(-\dfrac{5}{17}\right)=\dfrac{3}{17}.]

Passo 6

Encontramos a solução particular
y_p(t)=\dfrac{3}{17}\cos t-\dfrac{5}{17}\sin t.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular, isto é y(t)=y_h(t)+y_p(t). (A forma final será apresentada na seção de resposta.)

Passo 7

Verificação explícita (substituir y_p na equação mostra que recupera 2\sin t). Usando os coeficientes calculados:
coeficiente de \cos t em y_p''-3y_p'-4y_p:
-5a-3b = -5\left(\dfrac{3}{17}\right)-3\left(-\dfrac{5}{17}\right)=\dfrac{-15+15}{17}=0.
coeficiente de \sin t:
3a-5b = 3\left(\dfrac{3}{17}\right)-5\left(-\dfrac{5}{17}\right)=\dfrac{9+25}{17}=\dfrac{34}{17}=2.
Portanto
y_p''-3y_p'-4y_p = 0\cdot\cos t + 2\sin t = 2\sin t,
o que verifica que y_p é realmente uma solução particular. Como as soluções homogêneas satisfazem a homogênea, a soma y_h+y_p satisfaz a equação original. Boa! Vai dar certo na prova 😃

Resposta

y(t)=C_1 e^{4t}+C_2 e^{-t}+\dfrac{3}{17}\cos t-\dfrac{5}{17}\sin t

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