Encontre e verifique as soluções das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e verificar as soluções da equação diferencial
Perguntas explícitas:
- Determinar a solução geral da equação (todas as soluções).
- Verificar que a solução encontrada satisfaz a equação.
Informações dadas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo é
.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a equação homogênea:
Para resolver ecuções lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
Esta é uma quadrática; resolvendo:
Logo os dois ramos são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um palpite para a solução particular
(método dos coeficientes a determinar). O termo não homogêneo é
. Para um termo senoidal da forma
, um palpite padrão é
com
constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, verificamos se existe ressonância: isso ocorreria se
fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são
e
, não são
, então o palpite acima é adequado (não é preciso multiplicar por
).
Passo 4
Calcular
e
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas do palpite:
Derivadas do palpite:
Substituindo em
:
Agrupando os termos em
e
:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Portanto
Passo 5
Impor que a expressão anterior seja igual ao termo não homogêneo
Isto gera o sistema linear para
:
Resolver passo a passo:
Da primeira equação tem-se
Da primeira equação tem-se
Substituindo na segunda equação:
Colocar sobre denominador comum
:
Agora
:
Passo 6
Encontramos a solução particular
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular, isto é
. (A forma final será apresentada na seção de resposta.)
Passo 7
Verificação explícita (substituir
na equação mostra que recupera
). Usando os coeficientes calculados:
coeficiente de em
:
coeficiente de
coeficiente de
:
Portanto
o que verifica que
é realmente uma solução particular. Como as soluções homogêneas satisfazem a homogênea, a soma
satisfaz a equação original. Boa! Vai dar certo na prova 😃