Encontre o vértice, o conjunto imagem e faça um esboço do gráfico das seguintes funções do segundo grau:
f(x)=-x^2+2 x+8

Passo 1

Estamos lidando com a função quadrática f(x) = -x² + 2x + 8. O conteúdo aqui é função do 2º grau, e vamos usar completar o quadrado para encontrar o vértice, depois determinar a imagem e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para completar o quadrado, isolamos o termo com x² com sinal negativo e reescrevemos:
f(x) = -x^2 + 2x + 8 = -l(x^2 - 2xr) + 8
Em seguida, dentro do colchete, adicionamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de x (que é 1):
x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1
Logo,
f(x) = -l[(x - 1)^2 - 1r] + 8 = -(x - 1)^2 + 1 + 8 = -(x - 1)^2 + 9

Passo 3

Agora que temos f(x) = -(x-1)² + 9, reconhecemos a forma canônica a(x-h)² + k, onde h = 1 e k = 9. Então o vértice é V(1, 9). Como o coeficiente a = -1 é negativo, a parábola abre para baixo e esse ponto é um máximo.

Passo 4

Para achar a imagem, note que a parábola alcança o valor máximo y = 9 e desce infinitamente para baixo. Assim,
Im(f) = (-infty,,9]

Passo 5

Para o esboço, identificamos também os interceptos:
– y-intercepto: f(0) = 8, ponto (0,8).
– x-interceptos: resolvendo -x² + 2x + 8 = 0, temos x = 4 ou x = -2, pontos (4,0) e (-2,0).
O eixo de simetria é x = 1. Com todos esses pontos e sabendo que a concavidade é para baixo, basta ligar os pontos formando uma U invertido.

Passo 6

No esboço, marcamos V(1,9), os pontos (-2,0), (4,0) e (0,8), traçamos a linha x = 1 como eixo de simetria e desenhamos a parábola abrindo para baixo passando por esses pontos.

Resposta

Vértice em (1, 9); imagem (-∞, 9]; esboço de parábola côncava para baixo com vértice em (1,9), interceptos em (-2,0), (4,0) e (0,8) e eixo de simetria x=1.

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