Encontre o vértice, o conjunto imagem e faça um esboço do gráfico das seguintes funções do segundo grau:
f(x)=-x^2+1

Passo 1

Vamos resolver a função quadrática f(x) = -x^2 + 1. O objetivo é encontrar o vértice, o conjunto imagem e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola e analisar a concavidade.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2 + bx + c. Aqui temos a = -1, b = 0 e c = 1. Como a < 0, a parábola abre para baixo.

Passo 3

Para achar o vértice usamos xv = -tfracb2a. Substituindo, obtemos
xv = -02(-1) = 0
Então yv = f(xv) = f(0) = -0^2 + 1 = 1. Logo o vértice é (0,1).

Passo 4

Para ajudar no esboço, encontramos onde f(x)=0:
-x^2 + 1 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = 1 ;Longrightarrow; x = pm 1
Também já vimos que o intercepto em y é f(0) = 1. Assim os pontos chave são (-1,0), (1,0) e (0,1).

Passo 5

Como a concavidade é para baixo, o valor máximo ocorre no vértice. Portanto o conjunto imagem é
y in R: y <= 1

Passo 6

O esboço do gráfico é uma parábola simétrica em torno da reta x = 0, com vértice em (0,1) e que intercepta o eixo x em (-1,0) e (1,0), abrindo para baixo. Mantém esse formato de “U” invertido.

Resposta

Vértice: (0,1). Conjunto imagem: y in R: y <= 1. Gráfico: parábola de concavidade para baixo, vértice em (0,1) e interceptos em (-1,0) e (1,0).

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