Encontre o vértice, o conjunto imagem e faça um esboço do gráfico das seguintes funções do segundo grau:
f(x)=2 x^2+6 x+7

Passo 1

O enunciado pede para achar o vértice, o conjunto-imagem e esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=2x^2+6x+7. Vamos usar teoria de parábolas: forma canônica, vértice e análise de concavidade.

Passo 2

Começamos completando o quadrado para escrever f(x) na forma canônica a(x-h)^2+k. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
f(x)=2l(x^2+3xr)+7
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: o termo que falta é (3/2)^2=9/4. Então:
f(x)=2l(x^2+3x+94-94r)+7
Distribuindo e rearranjando:
f(x)=2l((x+tfrac32)^2-tfrac94r)+7 =2(x+tfrac32)^2-2cdottfrac94+7 =2(x+tfrac32)^2-tfrac92+7 =2(x+tfrac32)^2+tfrac52

Passo 3

A partir da forma canônica f(x)=2(x+tfrac32)^2+tfrac52 identificamos facilmente o vértice e o comportamento da parábola. Como a=2>0, a parábola é côncava para cima e o vértice é o ponto (h,k)=(-tfrac32,,tfrac52). O valor mínimo de f(x) é k=tfrac52, logo o conjunto-imagem é
Im(f)=[tfrac52,,+infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico basta marcar:
  • Vértice em (-1,5,,2,5).
  • Intercepto em y em f(0)=7.
  • A parábola abre para cima e não corta o eixo x (discriminante negativo).
Desenhando esses pontos e a forma de “U”, obtemos o esboço desejado.

Resposta

Vértice: (-3/2, 5/2)
Conjunto-imagem: [5/2, ∞)
Esboço: parábola côncava para cima, vértice em (-1,5; 2,5), intercepto em 7 no eixo y.

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