Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
3 x^{2}+8 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação da parábola
3x^{2}+8y=0
e pede três coisas:
Encontrar o vértice;
Encontrar o foco;
Encontrar a diretriz;
Esboçar o gráfico (descrever como desenhar).
Informações relevantes fornecidas:
A equação é a única informação numérica dada: 3x^{2}+8y=0.
Não há translação aparente (nenhum termo em x ou y isolado além dos quadráticos/lineares apresentados), então a parábola provavelmente tem vértice na origem, mas isso vamos confirmar nos próximos passos.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar) — aula rápida sobre a forma padrão da parábola vertical:
Para uma parábola com eixo vertical (simetria vertical), a forma padrão é
(x-h)^{2}=4p\,(y-k),
onde:
(h,k) é o vértice da parábola;
p é a distância algébrica do vértice ao foco (se p>0 a parábola abre para cima; se p<0 abre para baixo);
o foco é (h,k+p);
a diretriz é a reta y=k-p.
Explicando bem: a definição geométrica da parábola é o conjunto de pontos igualmente distantes do foco e da diretriz. A forma (x-h)^{2}=4p(y-k) resulta precisamente dessa definição após fazer a álgebra (não é preciso refazer essa derivação agora, só lembrar das fórmulas acima).
Exemplo rápido para fixar: se (x-0)^{2}=4\cdot 1\cdot (y-0) então p=1, vértice em (0,0), foco em (0,1) e diretriz y=-1. Aqui a parábola abre para cima porque p>0.
Passo 3
Colocar a equação dada na forma padrão. Começo isolando x^{2} ou y.
Da equação dada:
3x^{2}+8y=0.
Isolando o termo em x^{2}:
3x^{2}=-8y.
Dividindo por 3:
x^{2}=-\frac{8}{3}\,y.
Escrevendo para comparar com (x-h)^{2}=4p(y-k), note que aqui não há termos em x nem constantes deslocando o vértice, então h=0 e k=0. Podemos reescrever:
(x-0)^{2} = -\frac{8}{3}\,(y-0).
Logo, comparando com (x-h)^{2}=4p(y-k), obtemos
4p = -\frac{8}{3}.
Passo 4
Calcular p.
Da igualdade 4p=-\dfrac{8}{3}, temos
p = -\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{2}{3}.
Interpretando p: como p<0, a parábola abre para baixo (o foco fica abaixo do vértice).
Passo 5
Encontrar o vértice usando (h,k).
Como identificamos h=0 e k=0 na comparação com a forma padrão, o vértice é
\text{Diretriz: } y = 0 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{2}{3}.
Portanto a diretriz é a reta horizontal y=\tfrac{2}{3}.
Passo 8
Informações adicionais úteis para o esboço (como desenhar a parábola com segurança).
A parábola é simétrica em relação ao eixo y (porque só aparece x^{2}), então o eixo de simetria é a reta x=0.
Abre para baixo (pois o coeficiente de y na forma padrão deu p<0).
Vértice em (0,0).
Foco em \left(0,-\tfrac{2}{3}\right): marcar esse ponto abaixo do vértice.
Diretriz y=\tfrac{2}{3}: marcar essa reta acima do vértice.
Pontos práticos para esboçar a curvatura:
Para x=1: y = -\dfrac{3}{8} = -0{,}375, ponto \left(1,-\tfrac{3}{8}\right).
Para x=2: y = -\dfrac{3\cdot 4}{8} = -\dfrac{12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5, ponto \left(2,-\tfrac{3}{2}\right).
Latus rectum (reta que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo): seu comprimento é |4p|=\left|4\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)\right|=\tfrac{8}{3}. As extremidades do latus rectum têm coordenadas \left(\pm \tfrac{4}{3}, -\tfrac{2}{3}\right) (pode-se verificar substituindo y=-\tfrac{2}{3} na equação da parábola).
Como desenhar: coloque o vértice na origem, marque o foco abaixo em y=-\tfrac{2}{3}, trace a diretriz horizontal em y=\tfrac{2}{3}; desenhe uma curva simétrica em torno do eixo x=0 que passe pelos pontos calculados e que se abre para baixo, aproximando-se da forma esperada de uma parábola.