Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
(x+2)^{2}=8(y-3)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da parábola
(x+2)^{2}=8(y-3).
O que pede: encontrar o vértice, o foco e a diretriz, e esboçar o gráfico. Informação importante dada: a equação está numa forma em que a variável x aparece ao quadrado e a variável y aparece em grau 1, o que já sugere uma parábola com eixo vertical (abre para cima ou para baixo). Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Reconhecendo a forma canônica da parábola vertical: uma parábola com eixo vertical (simetria vertical) tem a forma padrão
(x-h)^{2}=4p(y-k),
onde:
  • (h,k) é o vértice da parábola;
  • p é a distância (com sinal) do vértice ao foco: se p>0 a parábola abre para cima; se p<0 abre para baixo;
  • o foco fica em (h,k+p);
  • a diretriz é a reta horizontal y=k-p;
  • a reta eixo de simetria é x=h.
Vou comparar a equação dada com essa forma padrão.

Passo 3

Colocando lado a lado:
(x+2)^{2}=8(y-3)
é da forma (x-h)^{2}=4p(y-k) com identificação imediata:
h=-2,\qquad k=3.
Também vemos que
4p=8 \quad\Rightarrow\quad p=\frac{8}{4}=2.
Explicando didaticamente: h e k vêm dos termos (x-h) e (y-k). Aqui (x+2)=(x-(-2)), então h=-2. O número 4p é o coeficiente multiplicando (y-k), então p=2. Como p>0, a parábola abre para cima (no sentido do aumento de y).

Passo 4

Usando as fórmulas:
  • Vértice: (h,k). Assim o vértice é
(-2,3).
  • Foco: (h,k+p). Substituindo,
(-2,\;3+2)=(-2,5).
  • Diretriz: y=k-p. Substituindo,
y=3-2=1.
Também anoto o eixo de simetria que é a reta vertical
x=-2,
útil para o esboço.

Passo 5

Para esboçar a parábola de forma prática sem calculadora, calcule alguns pontos notáveis a partir da equação resolvendo para y:
y=\frac{(x+2)^{2}}{8}+3.
Alguns pontos fáceis:
  • Para x=-2 temos y=3 (o vértice) — ponto (-2,3).
  • Para x=-2\pm 4 temos (x+2)^{2}=16 então y=16/8+3=2+3=5. Pontos: (-6,5) e (2,5).
  • Para x=-2\pm 2\sqrt{2} temos (x+2)^{2}=8 então y=8/8+3=4. Pontos: (-2-2\sqrt{2},4) e (-2+2\sqrt{2},4).
Interpretação geométrica para o esboço: o foco (-2,5) está a uma distância p=2 acima do vértice; a diretriz y=1 é uma linha horizontal a 2 unidades abaixo do vértice. A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, portanto abre para cima com eixo x=-2. Para desenhar: marque o vértice (-2,3), marque o foco (-2,5), trace a diretriz y=1, marque os pontos calculados (-6,5), (2,5) e os de y=4, e desenhe uma curva suave passando pelo vértice e esses pontos, simétrica em relação a x=-2.

Passo 6

Verificação rápida por definição (opcional, para aprendizado): escolha um ponto em nível y=5, por exemplo (2,5) que foi obtido acima. Distância ao foco (-2,5) é |2-(-2)|=4. Distância à diretriz y=1 é |5-1|=4. Como as distâncias coincidem, (2,5) pertence realmente à parábola — isso confirma que foco e diretriz estão corretos.

Resposta

Vértice: (-2,3)
Foco: (-2,5)
Diretriz: y=1

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