Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da parábola
O que pede: encontrar o vértice, o foco e a diretriz, e esboçar o gráfico. Informação importante dada: a equação está numa forma em que a variável
aparece ao quadrado e a variável
aparece em grau 1, o que já sugere uma parábola com eixo vertical (abre para cima ou para baixo). Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Reconhecendo a forma canônica da parábola vertical: uma parábola com eixo vertical (simetria vertical) tem a forma padrão
onde:
-
é o vértice da parábola; -
é a distância (com sinal) do vértice ao foco: se a parábola abre para cima; se abre para baixo; - o foco fica em
; - a diretriz é a reta horizontal
; - a reta eixo de simetria é
.
Vou comparar a equação dada com essa forma padrão.
Passo 3
Colocando lado a lado:
é da forma
com identificação imediata:
Também vemos que
Explicando didaticamente:
e
vêm dos termos
e
. Aqui
, então
. O número
é o coeficiente multiplicando
, então
. Como
, a parábola abre para cima (no sentido do aumento de
).
Passo 4
Usando as fórmulas:
- Vértice:
. Assim o vértice é
- Foco:
. Substituindo,
- Diretriz:
. Substituindo,
Também anoto o eixo de simetria que é a reta vertical
útil para o esboço.
Passo 5
Para esboçar a parábola de forma prática sem calculadora, calcule alguns pontos notáveis a partir da equação resolvendo para
:
Alguns pontos fáceis:
- Para
temos (o vértice) — ponto . - Para
temos então . Pontos: e . - Para
temos então . Pontos: e .
Interpretação geométrica para o esboço: o foco
está a uma distância
acima do vértice; a diretriz
é uma linha horizontal a
unidades abaixo do vértice. A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, portanto abre para cima com eixo
. Para desenhar: marque o vértice
, marque o foco
, trace a diretriz
, marque os pontos calculados
,
e os de
, e desenhe uma curva suave passando pelo vértice e esses pontos, simétrica em relação a
.
Passo 6
Verificação rápida por definição (opcional, para aprendizado): escolha um ponto em nível
, por exemplo
que foi obtido acima. Distância ao foco
é
. Distância à diretriz
é
. Como as distâncias coincidem,
pertence realmente à parábola — isso confirma que foco e diretriz estão corretos.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: