Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x +infty(1+3x)^7 x

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular o limite limxto+inftyl(1+tfrac3xr)^7x. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor da função ln(1+u) para aproximar expressões na forma (1+u)^algo grande.

Passo 2

Passo do logaritmo: para lidar com potências crescentes, definimos
L=limxto+inftyl(1+tfrac3xr)^7x
e vemos que
ln L=limxto+infty7xlnl(1+tfrac3xr)
Sabemos que se ln Lto A, então L=e^A.

Passo 3

Expansão de Taylor de ln(1+u): perto de u=0 vale
ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2), uto0
Aqui tomamos u=3/x, que de fato tende a zero quando xto+infty.

Passo 4

Substituição e simplificação: com u=3/x temos
7xlnl(1+tfrac3xr)=7xl(tfrac3x-tfrac12tfrac9x^2+o(1/x^2)r) =21-tfrac632x+o(1/x)
À medida que xto+infty, o termo -63/(2x)+o(1/x) vai a zero, de modo que
.

Passo 5

Conclusão: como ln Lto21, segue que
e^21.
Portanto, o limite pedido é .

Resposta

e^21

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