Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Resumo do problema: queremos calcular o limite
. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor da função
para aproximar expressões na forma
.
Passo 2
Passo do logaritmo: para lidar com potências crescentes, definimos
e vemos que
Sabemos que se
, então
.
Passo 3
Expansão de Taylor de
: perto de
vale
Aqui tomamos
, que de fato tende a zero quando
.
Passo 4
Substituição e simplificação: com
temos
À medida que
, o termo
vai a zero, de modo que
Passo 5
Conclusão: como
, segue que
Portanto, o limite pedido é