Encontre o vértice da parábola e esboce seu gráfico.
y^{2}+2 y-4 x+4=0

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela equação
y^{2}+2y-4x+4=0
E pede duas coisas:
  • Encontrar o vértice da parábola.
  • Esboçar o gráfico da parábola (ou seja, dizer sua orientação e alguns pontos que ajudam a desenhá-la).
Informações relevantes fornecidas: a equação geral envolvendo y^{2} e x. Nada mais foi dado.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para identificar vértice e orientar o esboço, é conveniente escrever a equação na forma padrão de uma parábola cujo eixo é horizontal:
(y-k)^{2}=4p(x-h),
onde:
  • (h,k) é o vértice da parábola;
  • p é a distância (com sinal) do vértice ao foco; se p>0 a parábola abre para a direita, se p<0 abre para a esquerda;
  • o eixo de simetria é a reta y=k;
  • o foco é (h+p,\;k) e a diretriz é a reta x=h-p.
Antes de aplicar isso, vou mostrar como completar quadrado para o termo em y: para uma expressão quadrática em y do tipo y^{2}+by, completa-se o quadrado somando e subtraindo (b/2)^{2}, porque
y^{2}+by = \bigl(y+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aqui b=2, então (b/2)^{2}=1. Isso é o que usarei na próxima etapa.

Passo 3

Aplicando completar quadrado na equação dada.
Começo com
y^{2}+2y-4x+4=0.
Completo o quadrado em y:
y^{2}+2y = (y+1)^{2} - 1.
Substituindo na equação:
(y+1)^{2}-1 -4x +4 = 0.
Agrupando constantes:
(y+1)^{2} +3 -4x = 0.
Isolando o termo com x:
(y+1)^{2} = 4x - 3.
Fatorando o lado direito por 4:
(y+1)^{2} = 4\bigl(x - \tfrac{3}{4}\bigr).
Agora está explícita a forma (y-k)^{2}=4p(x-h) com:
k = -1,\qquad h = \tfrac{3}{4},\qquad 4p = 4 \Rightarrow p = 1.
Portanto:
  • o vértice é (h,k)=\left(\tfrac{3}{4},-1\right);
  • como p=1>0, a parábola abre para a direita;
  • o eixo de simetria é a reta y=-1;
  • o foco é \bigl(h+p,\;k\bigr)=\left(\tfrac{3}{4}+1,\,-1\right)=\left(\tfrac{7}{4},-1\right);
  • a diretriz é x=h-p=\tfrac{3}{4}-1=-\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Como esboçar na prática (passo a passo que dá para fazer rápido na prova):
  1. Marque o vértice \left(\tfrac{3}{4},-1\right).
  2. Trace a reta eixo de simetria y=-1.
  3. Marque o foco \left(\tfrac{7}{4},-1\right) e a diretriz x=-\tfrac{1}{4} (opcional, mas ajuda a ver a abertura).
  4. Para obter pontos auxiliares simétricos em relação a y=-1, escolha alguns valores de y e calcule x pela forma (y+1)^{2}=4(x-\tfrac{3}{4}). Exemplos fáceis:
    • Para y=0: (0+1)^{2}=1=4(x-\tfrac{3}{4}) => x-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4} => x=1. Ponto \bigl(1,0\bigr).
    • Para y=-2: (-2+1)^{2}=1 dá o mesmo x=1. Ponto \bigl(1,-2\bigr).
    • Para y=1: (1+1)^{2}=4=4(x-\tfrac{3}{4}) => x=\tfrac{7}{4}. Ponto \bigl(\tfrac{7}{4},1\bigr).
    • Para y=-3: (-3+1)^{2}=4 x=\tfrac{7}{4}. Ponto \bigl(\tfrac{7}{4},-3\bigr).
  5. Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos calculados, aberta para a direita e simétrica em relação a y=-1.

Passo 5

Resumo rápido e coragem: a conta principal é completar o quadrado; depois basta identificar (h,k) e p na forma padrão. Fazendo isso: vértice encontrado e pontos para esboço. Você já tem tudo para desenhar no caderno em menos de um minuto — tá indo bem!

Resposta

\left(\tfrac{3}{4},-1\right)
Parábola com eixo y=-1, abre para a direita, foco \left(\tfrac{7}{4},-1\right) e diretriz x=-\tfrac{1}{4}.

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