Encontre o vértice da parábola e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela equação
E pede duas coisas:
- Encontrar o vértice da parábola.
- Esboçar o gráfico da parábola (ou seja, dizer sua orientação e alguns pontos que ajudam a desenhá-la).
Informações relevantes fornecidas: a equação geral envolvendo
e
. Nada mais foi dado.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para identificar vértice e orientar o esboço, é conveniente escrever a equação na forma padrão de uma parábola cujo eixo é horizontal:
onde:
-
é o vértice da parábola; -
é a distância (com sinal) do vértice ao foco; se a parábola abre para a direita, se abre para a esquerda; - o eixo de simetria é a reta
; - o foco é
e a diretriz é a reta .
Antes de aplicar isso, vou mostrar como completar quadrado para o termo em
: para uma expressão quadrática em
do tipo
, completa-se o quadrado somando e subtraindo
, porque
Aqui
, então
. Isso é o que usarei na próxima etapa.
Passo 3
Aplicando completar quadrado na equação dada.
Começo com
Completo o quadrado em
:
Substituindo na equação:
Agrupando constantes:
Isolando o termo com
:
Fatorando o lado direito por
:
Agora está explícita a forma
com:
Portanto:
- o vértice é
; - como
, a parábola abre para a direita; - o eixo de simetria é a reta
; - o foco é
; - a diretriz é
.
Passo 4
Como esboçar na prática (passo a passo que dá para fazer rápido na prova):
- Marque o vértice
. - Trace a reta eixo de simetria
. - Marque o foco
e a diretriz (opcional, mas ajuda a ver a abertura). - Para obter pontos auxiliares simétricos em relação a
, escolha alguns valores de e calcule pela forma . Exemplos fáceis: - Para
: => => . Ponto . - Para
: dá o mesmo . Ponto . - Para
: => . Ponto . - Para
: dá . Ponto .
- Para
- Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos calculados, aberta para a direita e simétrica em relação a
.
Passo 5
Resumo rápido e coragem: a conta principal é completar o quadrado; depois basta identificar
e
na forma padrão. Fazendo isso: vértice encontrado e pontos para esboço. Você já tem tudo para desenhar no caderno em menos de um minuto — tá indo bem!
Resposta
Parábola com eixo