Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede dois itens:
e pede dois itens:
- Esboçar o gráfico da curva no espaço tridimensional.
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.
Informações relevantes que temos (extraídas diretamente do enunciado):
- As coordenadas paramétricas são
. - O parâmetro
varia livremente (não foi dado intervalo), então a curva é traçada para todos os .
Passo 2
Identificar a natureza da curva e escrever numa forma útil para desenhar.
Uma forma padrão de escrever curvas paramétricas em
é como uma reta a partir de um ponto inicial mais um múltiplo de um vetor diretor. Aqui:
Explicando isso devagarinho:
- O vetor
é o ponto inicial (posição quando ). - O vetor
é o vetor diretor: ele indica a direção em que a reta se estende quando aumenta.
Logo, a curva é uma reta (uma linha reta) que passa pore tem direção .
Passo 3
Eliminar o parâmetro para ter equações relacionando
(ajuda a interpretar a reta):
De
obtemos
.
Substituindo em e
:
Substituindo em
Também se pode apresentar em forma simétrica:
Significado prático: a reta é a interseção das superfícies definidas por
e
. Essas expressões são úteis se quiser desenhar projeções nos planos coordenados.
Passo 4
Escolher pontos simples (valores de
) para marcar no esboço — isso é essencial para desenhar à mão sem calculadora.
Calculemos alguns pontos:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Explicando: cada ponto dá uma posição no espaço; ligando-os em ordem crescente de
obtemos a reta. Esses três pontos ficam alinhados (são colineares) porque pertencem a uma mesma reta.
Passo 5
Como esboçar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer na prova):
- Desenhe os eixos
, , numa visão isométrica simples: por exemplo, para a direita, para cima e ligeiramente para a esquerda, para cima e ligeiramente para a direita (qualquer convenção clara serve). - Marque o ponto
sobre o eixo (é a interseção com o eixo ). - Marque também
e . - Trace a reta que passa por esses pontos (uma régua ajuda). Essa é a curva inteira.
- Indique a direção com uma seta ao longo da reta apontando do ponto correspondente a
para para . Ou seja, a seta aponta no sentido do vetor .
Comentário encorajador: não precisa desenhar muitos pontos — dois ou três bem escolhidos já garantem a reta correta; a seta mostrando a direção do vetor diretor deixa claro o sentido do parâmetro
.
Passo 6
Interpretação final e checagens rápidas úteis na prova:
- Ponto inicial (quando
): . - Vetor diretor (indica sentido de crescimento de
): . - Para aumentar
a coordenada aumenta, aumenta três vezes mais rápido que (porque ), e diminui (pois ). Isso ajuda a posicionar qualitativamente a seta: conforme avançamos na reta sobe, avança, e desce.
Resposta
Reta que passa por
com vetor diretor
. A seta deve apontar no sentido do vetor
(por exemplo do ponto
para
para
).