Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
\alpha(t)=(1+t, 3 t,-t)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\alpha(t) = (1+t,\;3t,\;-t)
e pede dois itens:
  • Esboçar o gráfico da curva no espaço tridimensional.
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando t aumenta.
Informações relevantes que temos (extraídas diretamente do enunciado):
  • As coordenadas paramétricas são \,x=1+t,\;y=3t,\;z=-t\,.
  • O parâmetro t varia livremente (não foi dado intervalo), então a curva é traçada para todos os t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Identificar a natureza da curva e escrever numa forma útil para desenhar.
Uma forma padrão de escrever curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 é como uma reta a partir de um ponto inicial mais um múltiplo de um vetor diretor. Aqui:
\alpha(t) = (1+t,\;3t,\;-t) = (1,0,0) + t\,(1,3,-1).
Explicando isso devagarinho:
  • O vetor (1,0,0) é o ponto inicial (posição quando t=0).
  • O vetor (1,3,-1) é o vetor diretor: ele indica a direção em que a reta se estende quando t aumenta.
    Logo, a curva é uma reta (uma linha reta) que passa por (1,0,0) e tem direção (1,3,-1).

Passo 3

Eliminar o parâmetro para ter equações relacionando x,y,z (ajuda a interpretar a reta):
De \,x=1+t obtemos \,t=x-1.
Substituindo em y e z:
y = 3t = 3(x-1) \quad\Rightarrow\quad y = 3x - 3,
z = -t = -(x-1) \quad\Rightarrow\quad z = 1 - x.
Também se pode apresentar em forma simétrica:
x-1 = \frac{y}{3} = -z.
Significado prático: a reta é a interseção das superfícies definidas por y=3x-3 e z=1-x. Essas expressões são úteis se quiser desenhar projeções nos planos coordenados.

Passo 4

Escolher pontos simples (valores de t) para marcar no esboço — isso é essencial para desenhar à mão sem calculadora.
Calculemos alguns pontos:
  • Para t=-1: \alpha(-1) = (0,\,-3,\;1).
  • Para t=0: \alpha(0) = (1,\;0,\;0).
  • Para t=1: \alpha(1) = (2,\;3,\;-1).
Explicando: cada ponto dá uma posição no espaço; ligando-os em ordem crescente de t obtemos a reta. Esses três pontos ficam alinhados (são colineares) porque pertencem a uma mesma reta.

Passo 5

Como esboçar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos x, y, z numa visão isométrica simples: por exemplo, x para a direita, y para cima e ligeiramente para a esquerda, z para cima e ligeiramente para a direita (qualquer convenção clara serve).
  2. Marque o ponto \alpha(0)=(1,0,0) sobre o eixo x (é a interseção com o eixo x).
  3. Marque também \alpha(-1)=(0,-3,1) e \alpha(1)=(2,3,-1).
  4. Trace a reta que passa por esses pontos (uma régua ajuda). Essa é a curva inteira.
  5. Indique a direção com uma seta ao longo da reta apontando do ponto correspondente a t=-1 para t=0 para t=1. Ou seja, a seta aponta no sentido do vetor (1,3,-1).
Comentário encorajador: não precisa desenhar muitos pontos — dois ou três bem escolhidos já garantem a reta correta; a seta mostrando a direção do vetor diretor deixa claro o sentido do parâmetro t.

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas úteis na prova:
  • Ponto inicial (quando t=0): \,(1,0,0).
  • Vetor diretor (indica sentido de crescimento de t): \,(1,3,-1).
  • Para aumentar t a coordenada x aumenta, y aumenta três vezes mais rápido que x (porque y=3t), e z diminui (pois z=-t). Isso ajuda a posicionar qualitativamente a seta: conforme avançamos na reta y sobe, x avança, e z desce.

Resposta

Reta que passa por (1,0,0) com vetor diretor (1,3,-1). A seta deve apontar no sentido do vetor (1,3,-1) (por exemplo do ponto (0,-3,1) para (1,0,0) para (2,3,-1)).

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