Um professor afirma que um sistema linear homogêneo sempre possui solução. Explique por quê e dê um exemplo que ilustre essa afirmação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar por que um professor afirma que “um sistema linear homogêneo sempre possui solução”.
- Dar um exemplo que ilustre essa afirmação.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- “Sistema linear homogêneo” significa um sistema de equações lineares em que todos os termos independentes são zero. Em linguagem matricial isso é
, onde é uma matriz de coeficientes, é o vetor incógnita e é o vetor nulo.
Passo 2
Definição clara e o que cada símbolo significa:
-
é uma matriz com linhas e colunas que contém os coeficientes do sistema. -
é o vetor incógnita ). -
é o vetor nulo em (todos os componentes iguais a zero).
Um sistema homogêneo é exatamente o conjunto de equações representado por
Passo 3
Por que sempre existe pelo menos uma solução (a demonstração básica):
- Considere o vetor
(o vetor nulo em , isto é, todos os ). - Multiplicação de matriz por vetor é uma combinação linear das colunas de
com coeficientes dados pelas entradas de . Se todos esses coeficientes são zero, então cada combinação linear é zero. - Substituindo
em obtemos o vetor nulo:
- Conclusão:
satisfaz sempre . Portanto todo sistema linear homogêneo tem pelo menos essa solução, chamada solução trivial.
Passo 4
Explicando didaticamente quando existem outras (não-triviais) soluções:
- A existência de solução além do vetor nulo depende das propriedades de
. - Se
for quadrada ( ) e inversível (ou seja, ), então só existe a solução trivial. Raciocínio: multiplicando por vem . - Se
não for de posto máximo (ou seja, suas linhas/colunas forem linearmente dependentes), então existem vetores tais que . Nesses casos o sistema tem infinitas soluções (uma família parametrizada por variáveis livres). - Intuição simples: variáveis livres aparecem quando há mais incógnitas do que equações independentes; essas variáveis livres podem assumir valores que geram soluções não-nulas.
Passo 5
Exemplo 1 (mostrando a solução trivial sempre presente e mostrando caso com única solução trivial):
Considere o sistema
Considere o sistema
Matriz de coeficientes e formato matricial:
Determinante:
Como
, a matriz é inversível e o único vetor
que satisfaz
é
. Verificando diretamente:
- Somando as duas equações:
. - Substituindo
em .
Então a solução é ) — a solução trivial.]
Passo 6
Exemplo 2 (mostrando que pode haver soluções não-triviais):
Considere o sistema
Considere o sistema
Aqui a segunda equação é apenas o dobro da primeira: as equações são linearmente dependentes. Em forma matricial,
O posto de
é
(menor que o número de incógnitas
), então existe espaço para soluções não-triviais. Resolver:
- A primeira equação dá
. - Tomando
livre ( ), temos .
Portanto o conjunto de soluções é
que inclui o vetor nulo (quando
) e muitos vetores não-nulos (por exemplo
).]
Passo 7
Resumo didático e dica para a prova:
- Sempre que vir um sistema homogêneo
, escreva imediatamente que é solução (isso responde à afirmação do professor). - Se te pedirem se existem soluções não-triviais, verifique o posto de
ou, em caso quadrado, o determinante: - Se for quadrada e
, apenas a solução trivial. - Se
ou se , há infinitas soluções não-triviais.
- Se for quadrada e
- Ao resolver na prova, procure variáveis livres (colunas sem pivô) e parametrizar por elas para descrever todas as soluções.
Resposta
Porque o vetor nulo
tem a família de soluções
, que inclui a solução trivial quando
.]