Um professor afirma que um sistema linear homogêneo sempre possui solução. Explique por quê e dê um exemplo que ilustre essa afirmação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar por que um professor afirma que “um sistema linear homogêneo sempre possui solução”.
  • Dar um exemplo que ilustre essa afirmação.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • “Sistema linear homogêneo” significa um sistema de equações lineares em que todos os termos independentes são zero. Em linguagem matricial isso é A x = 0, onde A é uma matriz de coeficientes, x é o vetor incógnita e 0 é o vetor nulo.

Passo 2

Definição clara e o que cada símbolo significa:
  • A é uma matriz com m linhas e n colunas que contém os coeficientes do sistema.
  • x é o vetor incógnita \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T).
  • 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^m (todos os componentes iguais a zero).
    Um sistema homogêneo é exatamente o conjunto de equações representado por
A x = 0.

Passo 3

Por que sempre existe pelo menos uma solução (a demonstração básica):
  • Considere o vetor x=0 (o vetor nulo em \mathbb{R}^n, isto é, todos os x_i=0).
  • Multiplicação de matriz por vetor é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes dados pelas entradas de x. Se todos esses coeficientes são zero, então cada combinação linear é zero.
  • Substituindo x=0 em \,A x\, obtemos o vetor nulo:
A\cdot 0 = 0.
  • Conclusão: x=0 satisfaz sempre A x = 0. Portanto todo sistema linear homogêneo tem pelo menos essa solução, chamada solução trivial.

Passo 4

Explicando didaticamente quando existem outras (não-triviais) soluções:
  • A existência de solução além do vetor nulo depende das propriedades de A.
  • Se A for quadrada ( m=n) e inversível (ou seja, \det(A)\neq 0), então só existe a solução trivial. Raciocínio: multiplicando por A^{-1} vem x = A^{-1}0 = 0.
  • Se A não for de posto máximo (ou seja, suas linhas/colunas forem linearmente dependentes), então existem vetores x\neq 0 tais que A x = 0. Nesses casos o sistema tem infinitas soluções (uma família parametrizada por variáveis livres).
  • Intuição simples: variáveis livres aparecem quando há mais incógnitas do que equações independentes; essas variáveis livres podem assumir valores que geram soluções não-nulas.

Passo 5

Exemplo 1 (mostrando a solução trivial sempre presente e mostrando caso com única solução trivial):
Considere o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
Matriz de coeficientes e formato matricial:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(A)= (1)(-1)-(1)(1) = -2 \neq 0.
Como \det(A)\neq 0, a matriz é inversível e o único vetor x que satisfaz A x = 0 é x=0. Verificando diretamente:
  • Somando as duas equações: 2x=0\Rightarrow x=0.
  • Substituindo x=0 em x+y=0\Rightarrow y=0.
    Então a solução é \(x=0,\;y=0) — a solução trivial.]

Passo 6

Exemplo 2 (mostrando que pode haver soluções não-triviais):
Considere o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] 2x + 2y = 0. \end{cases}
Aqui a segunda equação é apenas o dobro da primeira: as equações são linearmente dependentes. Em forma matricial,
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
O posto de A é 1 (menor que o número de incógnitas n=2), então existe espaço para soluções não-triviais. Resolver:
  • A primeira equação dá y=-x.
  • Tomando x=t livre ( t\in\mathbb{R}), temos y=-t.
    Portanto o conjunto de soluções é
\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\},
que inclui o vetor nulo (quando t=0) e muitos vetores não-nulos (por exemplo t=1\Rightarrow (1,-1)).]

Passo 7

Resumo didático e dica para a prova:
  • Sempre que vir um sistema homogêneo A x = 0, escreva imediatamente que x=0 é solução (isso responde à afirmação do professor).
  • Se te pedirem se existem soluções não-triviais, verifique o posto de A ou, em caso quadrado, o determinante:
    • Se for quadrada e \det(A)\neq 0, apenas a solução trivial.
    • Se \det(A)=0 ou se \text{posto}(A) < n, há infinitas soluções não-triviais.
  • Ao resolver na prova, procure variáveis livres (colunas sem pivô) e parametrizar por elas para descrever todas as soluções.

Resposta

Porque o vetor nulo \(x=0\)\) sempre satisfaz \(\,A x=0\), logo todo sistema linear homogêneo tem pelo menos a solução trivial \(\(x=0\)\). Exemplo ilustrativo: o sistema \(\begin{cases}x+y=0\\[4pt]2x+2y=0\end{cases} tem a família de soluções \{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}, que inclui a solução trivial quando t=0.]

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