Encontre os vértices A, B e D do paralelogramo A B D C tal que A in r1, B in r2, C=(2,3), C D é múltiplo do vetor u=(1,2) e A C é perpendicular a r3, onde r1, r2 e r3 são as retas:
r1:l x=t+1 y=-2 t+3 ; t in R ; r2:l x=-5 s+3 y=4 s-1 ; t in R e r3: 2 x-3 y=6

Passo 1

O enunciado pede os vértices
  1. é paralelo ao vetor ;
    4. o lado é perpendicular à reta .
    Vamos usar geometria vetorial: em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e vetoriais, e a condição de perpendicularidade a uma reta se traduz em paralelismo com o vetor normal a ela.

Passo 2

Se C=(2,3) e C D é múltiplo de vec u, então existem lambdainR tais que
D = C + lambda,(1,2)
Como A B é o lado oposto a C D, também A B=lambda,(1,2), isto é,
B = A + lambda,(1,2)
Para a perpendicularidade de A C à reta r3, note que o vetor normal a r3:2x-3y=6 é vec n=(2,-3). Logo A C deve ser paralelo a vec n, isto é, existe muinR com
C - A = mu,(2,-3),
ou seja
A = C - mu,(2,-3)

Passo 3

Como
para algum . Por outro lado
Igualando componentes:
Da primeira vem e

Passo 4

Agora
Da primeira , logo .
Igualando as duas expressões de :

Passo 5

Com lambda = -tfrac157 temos
B = l(-2 - tfrac157,;9 - tfrac307r) = l(-tfrac297,;tfrac337r),
D = C + lambda(1,2) = l(2 - tfrac157,;3 - tfrac307r) = l(-tfrac17,;-tfrac97r)

Resposta

A = (-2,9),
B = l(-tfrac297,,tfrac337r),
D = l(-tfrac17,,-tfrac97r).

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