a) Mostre que a equação cartesiana da reta
quue corta o eixo horizontal no ponto de abscissa
e o eixo vertical no ponto de ordenada
, com
, é dada por
.
b) Uma reta
que passa pelo ponto
forma com os semieixos coordenados positivos um triângulo de perímetro 12. Determine sua equação.
b) Uma reta
Passo 1
O enunciado trata de geometria analítica de retas em
.
a) Queremos mostrar que a reta que intercepta o eixo em
e o eixo
em
, com
, tem equação
a) Queremos mostrar que a reta que intercepta o eixo
Iremos usar a forma de dois pontos e manipular algebricamente.
b) Em seguida, buscamos a reta que passa por e cujos interceptos positivos
e
geram um triângulo de perímetro
. Vamos usar a forma
, impor duas condições (passa por
e perímetro) e resolver o sistema para
.
b) Em seguida, buscamos a reta que passa por
Passo 2
Para a parte (a), considere a reta que passa por
e
. Seu coeficiente angular é
A equação-ponto é
Agora escrevemos
Passo 3
Para a parte (b), seja a reta na forma de interceptos
com
e
.
- Como passa por
, temos
- Os vértices do triângulo com os semieixos positivos são
, e . Seus lados medem , e . O perímetro é
Passo 4
Da equação
multiplica-se por
:
Esse é um relacionamento entre
e
.
Passo 5
Da condição do perímetro podemos usar a identidade pitagórica via
que ao expandir leva a
Agora resolvendo simultaneamente
obtêm-se duas soluções positivas:
Passo 6
Cada par de interceptos dá uma reta na forma
:
- Para
: - Para
:
Resposta
a) A reta com interceptos
e
tem equação
b) As retas que passam por
e formam triângulo de perímetro 12 com os semieixos positivos são