a) Mostre que a equação cartesiana da reta r quue corta o eixo horizontal no ponto de abscissa a e o eixo vertical no ponto de ordenada b, com a, b neq 0, é dada por xa+yb=1.
b) Uma reta r que passa pelo ponto P=(2, 43) forma com os semieixos coordenados positivos um triângulo de perímetro 12. Determine sua equação.

Passo 1

O enunciado trata de geometria analítica de retas em R^2.
a) Queremos mostrar que a reta que intercepta o eixo x em (a,0) e o eixo y em (0,b), com a,bneq0, tem equação
xa+yb=1
Iremos usar a forma de dois pontos e manipular algebricamente.
b) Em seguida, buscamos a reta que passa por P=(2,tfrac43) e cujos interceptos positivos a e b geram um triângulo de perímetro 12. Vamos usar a forma tfracxa+tfracyb=1, impor duas condições (passa por P e perímetro) e resolver o sistema para (a,b).

Passo 2

Para a parte (a), considere a reta que passa por (a,0) e (0,b). Seu coeficiente angular é
m = b-00-a = -ba
A equação-ponto é
y - 0 = m,(x - a) Longrightarrow y = -ba(x - a) = -ba,x + b
Agora escrevemos
y = b - ba,x Longrightarrow yb = 1 - xa Longrightarrow xa + yb = 1

Passo 3

Para a parte (b), seja a reta na forma de interceptos
xa + yb = 1,
com a>0 e b>0.
  1. Como passa por P=(2,tfrac43), temos
2a + tfrac43b = 1 ;;Longrightarrow;; 2a + 43b = 1
  1. Os vértices do triângulo com os semieixos positivos são (0,0), (a,0) e (0,b). Seus lados medem a, b e raiza^2+b^2. O perímetro é
a + b + raiza^2+b^2 = 12

Passo 4

Da equação tfrac2a + tfrac43b=1 multiplica-se por 3ab:
6b + 4a = 3ab Longrightarrow 3ab -4a -6b =0
Esse é um relacionamento entre a e b.

Passo 5

Da condição do perímetro podemos usar a identidade pitagórica via
l(12 - a - br)^2 = a^2 + b^2,
que ao expandir leva a
(a-12)(b-12)=72
Agora resolvendo simultaneamente
3ab -4a -6b =0, (a-12)(b-12)=72,
obtêm-se duas soluções positivas:
(a,b) = (3,,4) ou (a,b) = l(tfrac92,,tfrac125r)

Passo 6

Cada par de interceptos dá uma reta na forma tfracxa+tfracyb=1:
  • Para (a,b)=(3,4): x3 + y4 = 1 ;Longrightarrow; 4x + 3y = 12
  • Para l(a,br)=l(tfrac92,tfrac125r): x9/2 + y12/5 = 1 ;Longrightarrow; 2x9 + 5y12 = 1 ;Longrightarrow; 8x + 15y = 36

Resposta

a) A reta com interceptos (a,0) e (0,b) tem equação
boxedxa + yb = 1
b) As retas que passam por l(2,tfrac43r) e formam triângulo de perímetro 12 com os semieixos positivos são
boxed4x + 3y = 12 e boxed8x + 15y = 36

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