Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que soma os termos da forma
para
indo de 1 até o infinito. O conteúdo aqui envolve o teste do termo geral para determinar se uma série é convergente ou divergente. Para resolver, vamos precisar calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito e ver se ele é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite do termo geral
quando
vai para o infinito. Isso significa que queremos saber para onde esse fração se dirige à medida que
fica bem grande.
Passo 3
Observando o numerador e o denominador, vemos que ambos têm
como o termo de maior grau. Por isso, podemos simplificar dividindo cada parte por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Sabemos que
e
vão para zero conforme
cresce:
Passo 5
De acordo com o teste do termo geral, se o limite do termo geral de uma série não for zero, ou seja,
, então a série é divergente. Como nesse caso o limite é 1, que é diferente de zero, concluímos que a série é divergente.
Resposta
A série
é divergente porque o limite do termo geral é 1, diferente de zero.