Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
sumn=1^infty n^3n^3+n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que soma os termos da forma n^3n^3+n^2+4 para n indo de 1 até o infinito. O conteúdo aqui envolve o teste do termo geral para determinar se uma série é convergente ou divergente. Para resolver, vamos precisar calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito e ver se ele é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite do termo geral n^3n^3+n^2+4 quando n vai para o infinito. Isso significa que queremos saber para onde esse fração se dirige à medida que n fica bem grande.

Passo 3

Observando o numerador e o denominador, vemos que ambos têm n^3 como o termo de maior grau. Por isso, podemos simplificar dividindo cada parte por n^3:
n^3n^3+n^2+4 = 11 + 1n + 4n^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito. Sabemos que 1n e 4n^3 vão para zero conforme n cresce:
limn to infty 11 + 1n + 4n^3 = 11 + 0 + 0 = 1

Passo 5

De acordo com o teste do termo geral, se o limite do termo geral de uma série não for zero, ou seja, limn to infty an neq 0, então a série é divergente. Como nesse caso o limite é 1, que é diferente de zero, concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^3n^3+n^2+4 é divergente porque o limite do termo geral é 1, diferente de zero.

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