Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada por
. Vamos usar a técnica de completar quadrados para chegar à forma padrão de uma hipérbole e daí extrair centro, parâmetros
,
, vértices, focos e equações das assíntotas.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos de
e de
e completamos quadrados:
Como
e
, simplificando:
Reescrevendo para obter o lado igual a 1:
$$
\frac{(y + 2)^2}{19.75}
\frac{(x - 1.75)^2}{4.9375} = 1
$$
Passo 3
Dessa forma padrão (
\frac{(y - k)2}{a2}
\frac{(x - h)2}{b2}
=1
), identificamos o centro ,
,
e vemos que o eixo transverso é vertical.
=1
), identificamos o centro
Passo 4
Como o eixo transverso é vertical, os vértices ficam em
. Calculando
, temos:
Passo 5
Para os focos usamos
, logo
. Os focos são em
:
Passo 6
As assíntotas de (
\frac{(y+2)2}{a2}
\frac{(x-1.75)2}{b2}=1
) são dadas por . Como
,
) são dadas por
Isto é
e
Passo 7
Para esboçar, desenhe o centro
, trace as duas retas assíntotas e marque os vértices e focos ao longo do eixo vertical; então desenhe os ramos que se aproximam dessas retas.
Resposta
Vértices:
. Focos:
. Assíntotas:
e
.