Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
4 x^2-y^2-14 x-4 y+28=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada por 4x^2 - y^2 -14x -4y +28=0. Vamos usar a técnica de completar quadrados para chegar à forma padrão de uma hipérbole e daí extrair centro, parâmetros a, b, vértices, focos e equações das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos de x e de y e completamos quadrados:
4(x^2 - 3.5x) - (y^2 + 4y) + 28 = 0
4l[(x - 1.75)^2 - (1.75)^2r] - l[(y + 2)^2 - 2^2r] + 28 = 0
Como 1.75^2 = 3.0625 e 2^2 = 4, simplificando:
4(x - 1.75)^2 - (y + 2)^2 - 12.25 + 4 + 28 = 0
4(x - 1.75)^2 - (y + 2)^2 + 19.75 = 0
Reescrevendo para obter o lado igual a 1:
(y + 2)^2 - 4(x - 1.75)^2 = 19.75
$$
\frac{(y + 2)^2}{19.75}

\frac{(x - 1.75)^2}{4.9375} = 1
$$

Passo 3

Dessa forma padrão (
\frac{(y - k)2}{a2}

\frac{(x - h)2}{b2}
=1
), identificamos o centro a^2=19.75, b^2=4.9375, e vemos que o eixo transverso é vertical.

Passo 4

Como o eixo transverso é vertical, os vértices ficam em (h,kpm a). Calculando a = raiz19.75 = tfracraiz792, temos:
l(1.75, -2 pm tfracraiz792r)

Passo 5

Para os focos usamos c^2 = a^2 + b^2 = 19.75 + 4.9375 = 24.6875, logo c = tfracraiz3954. Os focos são em (h,kpm c):
l(1.75, -2 pm tfracraiz3954r)

Passo 6

As assíntotas de (
\frac{(y+2)2}{a2}

\frac{(x-1.75)2}{b2}=1
) são dadas por y+2=pmab(x-1.75). Como a/b=2,
y + 2 = pm 2(x - 1.75)
Isto é
y = 2x - tfrac112
e
y = -2x + tfrac32

Passo 7

Para esboçar, desenhe o centro (1.75,-2), trace as duas retas assíntotas e marque os vértices e focos ao longo do eixo vertical; então desenhe os ramos que se aproximam dessas retas.

Resposta

Vértices: l(tfrac74, -2 pm tfracraiz792r). Focos: l(tfrac74, -2 pm tfracraiz3954r). Assíntotas: y = 2x - tfrac112 e y = -2x + tfrac32.

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